A-2-2张力与摩擦角

2023-08-29 21:22 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

2.2.1 张力

张力求解

弹性绳或弹簧在伸长时，其中处处存在弹力，我们称其为张力。由于张力是弹性体内部的作用力，我们在分析时，往往采用微元法，隔离一小段物体进行分析。

例1.如图所示，一长为L、质量均匀为M的链条套在一表面光滑，顶角为\alpha的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？

解：空间的受力分析问题，我们往往需要利用视图，化为平面图分析。

我们在链条上取圆心角 $d%5Ctheta$ 对应的小微元，其质量为：

$dm%3D%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%5Cpi%7DM$
画出小微元的受力分析：

其中两张力T对称，作出俯视图求其合力：

由上图得合力为

$2T%5Csin%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%7D%3DTd%5Ctheta$
再看主视图：

由受力分析及其矢量图易知：

$Td%5Ctheta%5Ctan%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%3Ddmg%3D%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%5Cpi%7DMg$
故：
$T%3D%5Cdfrac%7BMg%7D%7B2%5Cpi%7D%5Ccot%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D$

弹簧伸长量

我们已经知道n个弹簧的串并联公式：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20k_%E4%B8%B2%3D(%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%20k_i%5E%7B-1%7D)%5E%7B-1%7D%5C%5C%20k_%E5%B9%B6%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%20k_i%20%5Cend%7Bcases%7D$

下面我们考虑一下非轻弹簧的情况

例2.一质量为m的弹簧，劲度系数为k，将其竖直悬挂时，求其伸长量（未超过弹性限度）。

解：我们将弹簧n等分，则每一份质量为 $%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D$ ，劲度系数为nk，从上往下数，第i个弹簧下方悬挂了(n-i)份弹簧，伸长量

$%5CDelta%20x_i%3D%5Cdfrac%7B(n-i)%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7Dg%7D%7Bnk%7D%3D%5Cdfrac%7Bmg%7D%7Bn%5E2k%7D(n-i)$
则总伸长量

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5CDelta%20x_i%3D%5Cdfrac%7Bmg%7D%7Bn%5E2k%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D(n-i)%3D%5Cdfrac%7B(n-1)mg%7D%7B2nk%7D$
当 $n%5Crightarrow%5Cinfty$ 时，总伸长量为 $%5Cdfrac%7Bmg%7D%7B2k%7D$

摩擦力作用下的张力

在河边泊船时，我们可以看到，船夫会将绳子绕在岸上的桩上，绕了好几圈之后打结，防止绳子松动。这里其实也应用了摩擦力的知识。

例3.如下图所示，当船舶抛锚时，要把缆绳在系锚桩上绕好几圈（N圈），这样做时，锚桩抓住缆绳必需的力，比船作用于缆绳的力小得多，以避免在船舶遭到突然冲击时拉断缆绳，这两力之比 $F_1%3AF_2$ ，与缆绳绕系锚桩的圈数有关。设泊船时将缆绳在系锚桩上绕了5圈，缆绳与锚桩间的摩擦因数 $%5Cmu%3D0.2$ ，求比值 $F_1%3AF_2$ ．

解：取绳上圆心角 $d%5Ctheta$ 对应的小微元，假设缆绳逆时针转动，画出受力分析的俯视图：

锚桩以最小力拉住缆绳时，缆绳刚好滑动。沿切向和法向列平衡方程得：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20(T%2BdT)%5Ccos%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%7D%3DT%5Ccos%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%7D%2Bf%5C%5C%20F_N%3D(T%2BdT)%5Csin%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%7D%2BT%5Csin%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%7D%5C%5C%20f%3D%5Cmu%20F_N%20%5Cend%7Bcases%7D$
利用小量近似化简得
$%5Cdfrac%7BdT%7D%7BT%7D%3D%5Cmu%20d%5Ctheta$
解得

$%5Cdfrac%7BT_2%7D%7BT_1%7D%3De%5E%7B%5Cmu%5Ctheta%7D$
代入数据

$F_1%3AF_2%3De%5E%7B-2%5Cpi%7D$

可见利用摩擦力，可以实现"四两拨千斤"的效果。

2.2.2 虚功原理

对于一个静态平衡的系统，所有外力的作用，经过虚位移所作的虚功，总和等于零，这就是虚功原理。

其中虚位移指的是系统满足约束条件的无限小可能位移。"虚"字表示它与系统的真实位移无关，且位移无限小，不改变原来的力的方向与大小。

而虚功指的是真实力在虚位移上做的功。

利用虚功原理，可以很快的解决一些静力学的"难题"。

例4.一条均匀绳子两端悬挂在A和B两点上，A、B两点的高度差为h，如图所示，绳子在A点的张力等于 $T_A$ .求绳子在B点的张力。知整条绳子的质量为m，长度为l.

解：假设绳子在沿着绳子自身方向有一个虚位移，A处绳子缩短 $%5Cdelta%20x$ ,则B处绳子伸长 $%5Cdelta%20x$ 。重力做功等于 $%5Cdelta%20x$ 长度的绳子从A点直接上升到B点重力做的功。则合力做功：

$T_B%5Cdelta%20x-T_A%5Cdelta%20x-%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bl%7D%5Cdelta%20xgh%3D0$
故

$T_B%3DT_A%2B%5Cdfrac%7Bh%7D%7Bl%7Dmg$

2.2.3 摩擦角

正交分解法算是受力平衡的代数方法。力作为矢量，画矢量图的几何方法往往会更加直观、快捷。在研究滑动问题时，我们需要比较f和 $F_N$ 之间的大小关系，不滑动的条件为：

$%5Cdfrac%7Bf%7D%7BF_N%7D%5Cle%5Cmu$

如上图，我们发现， $%5Cdfrac%7Bf%7D%7BF_N%7D$ 可以表示为 $%5Ctan%5Ctheta$ ，其中 $%5Ctheta$ 是摩擦力与支持力的合力与接触面法线方向的夹角，如果我们定义 $%5Cmu%3D%5Ctan%5Cvarphi$ ，那么不滑动时

$%5Ctan%5Ctheta%5Cle%5Ctan%5Cvarphi$

即

$%5Ctheta%5Cle%5Cvarphi$

我们将 $%5Cvarphi%3D%5Carctan%5Cmu$ 称为摩擦角，f和 $F_N$ 的合力称为全反力，不滑动时，只要全反力与法线的夹角小于摩擦角就可以了。

例5.粗糙水平面上有一重为G的小木块，用一个斜向右上方的作用力F去拉这个木块，求将其拉动的F最小值。已知木块和水平面的滑动摩擦系数为 $%5Cmu$ ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

解：受力分析如下图，

小木块受3个作用力，重力G，拉力F以及全反力。刚好滑动时，全反力与法线的夹角等于摩擦角 $%5Cvarphi$ ，三力画成闭合矢量图如右图，其中全反力方向已知，大小未知，易得

$F_%7Bmin%7D%3DG%5Csin%5Cvarphi%3D%5Cdfrac%7B%5Cmu%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B%5Cmu%5E2%7D%7DG$

在上例中，如果F斜向右下方，且与法线夹角小于摩擦角 $%5Cvarphi$ ，此时全反力与法线夹角永远小于摩擦角，就是说物块永远不可能滑动，这就是自锁现象。

2.2.4 练习

练1.如图，在一个置于水平面上的表面光滑的半径为R的半圆柱面上，置有一条长为 $%5Cpi%20R$ 的均匀链条，链条的质量为m，其两端刚好分别与两侧的水平面相接触，求此链中张力的最大值为多少？

答案： $%5Cdfrac%7Bmg%7D%7B%5Cpi%7D$

练2.由4根长为2l，质量为2m的均质杆和4根长为l，质量为m的均质杆构成合页构件，构件共有10个轻质的光滑铰链，将铰链 $O_1$ 悬挂于水平轴上，并在铰链 $O_3$ 、 $O_4$ 间连一根绳，绳长为 $%5Csqrt%7B2%7Dl$ .构件平衡时，各铰链处两杆的夹角均为90°，如图所示。试求平衡时绳中的张力。