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倒易点阵性质总结

2022-12-08 10:49 作者:旺-旺啊 0人读过 | 我要投稿

这里假设正格子的基矢为a、b、c。相应的倒格子的基矢为a*、b*、c*。

注：以下内容中的*均为上角标。乘的关系已用×表示

性质1：倒格子的基矢与正格子基矢的关系

$a%5Cast%3D%5Cfrac%7B2%5Cmathrm%7B%5CPi%7D%5Cleft(b%5Ctimes%20c%5Cright)%7D%7Ba%5Ctimes%20b%5Ctimes%20c%7D%0A%0Ab%5Cast%3D%5Cfrac%7B2%5Cmathrm%7B%5CPi%7D%5Cleft(a%5Ctimes%20c%5Cright)%7D%7Ba%5Ctimes%20b%5Ctimes%20c%7D%0A%0Ac%5Cast%3D%5Cfrac%7B2%5Cmathrm%7B%5CPi%7D(a%5Ctimes%20b)%7D%7Ba%5Ctimes%20b%5Ctimes%20c%7D%0A$

性质2：两格子基矢之间

$ai%5Ctimes%20bj%3D2%5Cmathrm%7B%5CPi%5Csigma%20ij%7D%0A%20%20%E5%BD%93i%3Dj%E6%97%B6%EF%BC%8C%CF%83ij%3D2%CE%A0%0A%20%20%E5%BD%93i%E2%89%A0j%E6%97%B6%EF%BC%8C%CF%83ij%3D0%0A$

性质3：倒格子单胞的体积为

$a*%5Ctimes%20b*%5Ctimes%20c*%3D%5Cfrac%7B%7B(2%5Cmathrm%7B%5CPi%7D)%7D%5E3%7D%7Ba%5Ctimes%20b%5Ctimes%20c%7D$

性质4：对于立方、四方、正交晶系，其倒格子基氏也是正交的。

性质5：倒易空间每一格点与正空间晶面一一对应

性质6：根据性质5两个格矢表示为

正格子的格氏表示为 $R%3Dau%2Bbv%2Bcw$

倒格子的格氏表示为 $G*%3Da*h%2Bb*k%2Bc*l$

那么，两格氏相乘为

$R%5Ctimes%20G*%3D(au%2Bbv%2Bcw)(a*h%2Bb*k%2Bc*l)%3D2%5Cmathrm%7B%5CPi%7D(hu%2Bkv%2Bwl)$

性质7：倒易空间基氏垂直于对应正空间(hkl)晶面，且其倒易格矢的长度为该晶面间距的倒数。

根据以上性质证明晶带轴定律

根据性质7知，晶面的法线方向为 $G*%3Da*h%2Bb*k%2Bc*l$ ，[uvw]可以表示为 $R%3Dau%2Bbv%2Bcw$ ，且[uvw]位于晶面(hkl)上那么得到

即

$(hu%2Bkv%2Bwl)%3D0$

证毕。

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