什么是非整数阶导数?

对于学过高等数学, 甚至是高中数学的人来说, 导数并不是什么新鲜事物. 而且求导总是一阶一阶地求的. 在讲导数前, 先来看看导数的反面:

积分算符 I

在学习高等数学中, 求导是一个对函数的操作, 虽然在微分里出现了形形色色的 dx, dy, dsin(x)等的符号, 但是习惯上还是会把 d/dx 看作一个符号, 叫做微分算符  防杠: 这里的x不一定是x, 只是形容"求导"这个操作. 而且微分算符(Nabla算子) ∇ 是一个高维函数的算子, 特殊地, 在一维函数上向量方向等于坐标轴的正方向, 所以∇在一维函数与"求导"是等价的 

相应地, 有一个不太常见的算符叫做积分算符, 定义如下: 

这相当于一个固定了常数C的不定积分. 与求导类似, 积分算符也有"高阶"的说法, 并且积分下限可以修改, 例如:

对于一般n为正整数的情况, 柯西给出公式:

这个公式称为 Cauchy's formula for repeated integration, 公式证明在本文最后给出

非整数阶积分

well, 在柯西重复积分公式里, 唯一一个限制n必须为正整数的是(n-1)!, 除了显而易见也想不到怎么样形容, 这个不就是Γ函数吗, 当把(n-1)!替换成Γ(n)后, 得到另一个公式:  Riemann-Liouville Fractional Intergral

这时候n的定义从正整数扩张到半个复平面了, tips: Γ函数在另外半个复平面也是有定义的, 而公式在那个半平面没有定义, 有兴趣的也许可以去探究一下

非整数阶导数

重头戏终于来了. 首先根据微积分不难看出:

定义算符D, 防杠: D和 ∇ 都可以称作微分算符, 但是D是专门为了非整数阶导数做的

结合上面两式有:

其中那个像是方括号砍了一横的是ceil函数, 也称向上取整, 计算方法.....向上取整.....嗯

这条公式就是非整数阶导数了, yap, 这就把重点说完了

注意事项: 使用算符D时, 导数里的链式法则和乘法法则不再适用, 因为里面计算是基于积分计算的

下面给出了几个常用的式子:

对于更少数的情况, 提出了算符 J 用来合拼上述情况: 

Cauchy's formula for repeated integration 的证明: