【数学基础23】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 定义：一个实数集E的全部元素若能按自然数次序排列起来，即E={a1，a2，……，an}，则称E为可列集。

2. 矩阵乘法运算律——
   

   a.结合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

   e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

   
   

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数习题集》（杨子胥 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

直线（实数全体）上互不相交的开区间形成的集是之多可列集。

证：在每个开区间中取定一个有理数，显然这些有理数互不相同，因此开区间的“数量”与所选的有理数“数量”相同，即得所证。

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

已知非零向量a，b，求a+b与a-b共线的条件。

解：a+b与a-b共线，则（a+b）x（a-b）=axa-axb+bxa-bxb=2bxa=0，即a//b。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子胥 编）》）——

设A，B为n阶方阵，且A=（B+E）/2.证明：A^2=A当且仅当B^2=E.

证：

必要性——

1. 已知A=（B+E）/2，则A^2=（B^2+2B+E）/4；

2. A^2=A，则（B^2+2B+E）/4=（B+E）/2，解得B^2=E.

充分性——

1. 已知A=（B+E）/2，则A^2=（B^2+2B+E）/4；

2. B^2=E，则A^2=（B^2+2B+E）/4=（2B+2E）/4=（B+E）/2=A.

证毕.

就到这里！