《线性代数》同济六版，拒绝废话，全程超精讲！【孔祥仁】

倒叙排放，可能有错误，注意辨别

《线性代数》同济六版的视频讲解了n阶行列式的定义和不同形式的排列，以及行列式的性质和特点。通过按行、按列和任意顺序定义行列式，可以得到相同的结果，其中符号的正负取决于航标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性。

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这个视频讲述了排列和对换的概念，以及排列的逆序数的计算方法。视频中介绍了排列的定义和构成，以及逆序的概念和计算方法。还介绍了奇排列和偶排列的特性，以及通过对换可以将排列转变为标准排列的方法。通过简洁概要地介绍了视频的重要内容，方便人们理解排列和对换的概念及其应用。

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排列与对换的概念

00:00-05:20

这个章节主要讲了排列与兑换的概念。排列是由n个数组成的有序数组，比如123是一个三级排列，而12345678是一个八级排列。根据穷举法，n个数可以构成n的阶乘个n级排列。另外，还介绍了顺序和逆序的概念，顺序是前小后大，逆序是前大后小。通过例子解释了逆序的含义。

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️排列中的逆序数计算方法

05:20-10:43

这个章节讲了排列中的逆序数以及两种计算逆序数的方法。通过观察每个数后面有多少个比它小的数，或者观察每个数前面有多少个比它大的数，可以计算逆序数。不能同时使用这两种方法。举例说明了如何计算逆序数。

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计算排列的逆序数的两种方法

10:43-16:05

这个章节介绍了两种方法来计算一个排列的逆序数：后面几个小和前面几个大。对于标准排列，它的逆序数为零，因此是一个偶排列。如果将标准排列的顺序完全调换，形成的排列的逆序数为n-1+n-2+...+1，可以用后面几个小的方法判定。

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排列逆序数的计算步骤

16:05-21:28

这个章节讲解了如何计算一个排列的逆序数。通过假设每个数后面比它小的数的个数，得出了逆序数的计算公式。同时提到了排列中每个数的位置和大小的关系，以及计算逆序数的步骤。这个方法适用于任意排列。

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排列逆序数的计算方式

21:28-26:49

这个视频中的章节讲解了如何计算一个排列的逆序数。通过对每个数字后面比它小的数进行计数，可以得到逆序数的值。根据排列的不同，逆序数的计算方式也不同。最后，根据计算公式，逆序数等于n*(n-1)/2。

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排列的逆序数和兑换概念

26:49-32:12

本章节介绍了排列的逆序数和兑换的概念。通过实例验证了逆序数的计算方法，并讨论了排列经过一次兑换后奇偶性的变化。最后以一个排列的交换为例，说明了兑换对排列的影响。

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排列和兑换的关系

32:12-37:34

这个章节讲了排列和兑换的关系。通过兑换可以将基排列转换为标准排列，需要兑换基数次；同样，偶排列也可以通过偶数次兑换变为标准排列。反过来，基排列和偶排列可以通过反向操作兑换回标准排列。这个推论对于理解排列和兑换非常重要。

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这个视频介绍了二阶和三阶行列式的计算方法和几何意义。通过对角线法则可以计算行列式的值，主对角线前面为正号，副对角线前面为负号。行列式的几何意义是表示平行四边形或平行六面体的体积，如果行或列对应成比例，则体积为零或共面。对于高阶行列式，需要学习更多的方法和定义。

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三阶行列式介绍

00:00-04:51

这个视频是关于三阶行列式的计算方法的介绍。三阶行列式由三行三列九个元素构成，计算方法遵循对角线法则。首先计算主对角线上的三个元素相乘，前面的符号为正号；然后计算副对角线上的三个元素相乘，前面的符号为负号。最后将六个相乘的结果相加，即可得到三阶行列式的计算结果。通过这种方式，可以将行列式的计算过程形象地比喻为画星星或画心形。

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三阶行列式计算方法

04:51-09:42

本章节讲解了三阶行列式的计算方法。首先介绍了对角线法则，即主对角线前面的符号为正号，副对角线前面的符号为负号。接着强调了三阶行列式有六项，需要记住这个规律。然后提到了习惯上先写上行后写下行，同时强调了每一项来自于不同行不同列的元素相乘。最后，讲到了三阶行列式的意义，可以用于求解三元线性方程组。

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三阶行列式代数和几何意义

09:42-14:33

这个视频的章节讲解了三阶行列式的代数和几何意义。三阶行列式可以表示三维空间中的平行六面体的体积，每一行或每一列都可以看作是一个向量。如果三个向量共面，则无法构造出平行六面体，其体积为零。因此，三阶行列式的结果为非负数时，代表着平行六面体的体积。

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二阶和三阶行列式几何意义

14:33-19:25

本章介绍了二阶行列式和三阶行列式的几何意义。二阶行列式表示平行四边形的面积，当两个向量共线时，面积为零。三阶行列式表示三维空间中平行六面体的体积，若三个向量共面，则体积为零。若有两行对应成比例，则三维向量共面，反之不一定成立。需注意以上推导。

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三阶和四阶行列式几何意义

19:25-24:15

这个视频讲述了三阶行列式和四阶行列式的几何意义。如果三阶行列式中有两行对应成比例，那么三个向量共面；如果四阶行列式中有两行或两列对应成比例，那么四个向量在同一个三维空间中。这种关系可以从二维空间中的平行四边形和三维空间中的平行六面体类比得出。对于四阶行列式，它代表的是四维空间中的平行八面体。

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向量的线性相关性质

24:15-29:09

本章节讲述了向量的线性相关性质。当两个向量共线、三个向量共面、四个向量共体时，它们被称为线性相关。这种情况下，对应的行列式结果为零。此外，一阶行列式较简单，行数和列数必须相等。对角线法则仅适用于二阶和三阶行列式，更高阶的行列式需要学习排列和兑换。

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关键时刻

00:00

n阶行列式的定义及其性质

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• n阶行列式的定义
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• 行列式的形式及因子位置调换
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• 行列式的列标排列和航标排列

04:03

行列式的定义和性质

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• 行列式的列标排列为自然排列，先写左边列，后写右边列。
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• 行列式的航标排列为基排列，每一项前面为正号或负号。
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• 行列式可以按行或按列进行定义，本质上是等价的。
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• 按列定义的行列式可以表示为求和表达式，每一项由不同行不同列的元素组成。
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• 行列式的符号取决于航标排列的基排列或偶排列，逆序数为奇数或偶数。

08:12

行列式的定义方式和逆序数的关系

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• 行列式的定义方式有按行定义和按列定义两种方式。
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• 行列式的每一项可以随意打乱顺序，只要保证每一项由不同行不同列的元素相乘得来。
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• 行列式的逆序数和符号的关系：逆序数为偶数时，符号为正；逆序数为奇数时，符号为负。

12:13

行列式的定义和符号规律

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• 行列式的逆序数为偶数时，前面的项为正号。
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• 行列式的逆序数为奇数时，前面的项为负号。
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• 行列式的定义保持一致，只需保证不同行不同列的元素相乘。

16:17

行列式的定义和逆序数

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• 行列式的元素可以按行列来定义
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• 行列式的定义中涉及到逆序数的计算
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• 逆序数的计算可以通过排列的方式进行

20:22

正号和负号的判断

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• 它就是个正号
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• -1的六次方正号啊
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• 如果t是3n是一，那么我们可以直接判断他肯定是个负号