信号与线性系统分析 吴大正 郭宝龙

内容主要包括：

一、由微分方程画LTI系统模拟框图的一般步骤：

1.微分方程中不含激励的导数的；（如y’’(t) + ay’(t) + by(t) = f(t)）

2.微分方程中含激励的导数的；（如y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 4f’(t) + f(t)）

二、对含激励及其导数的微分方程模拟框图绘制的理解

*重点理解为什么例题中y(t)与x(t)建立的联系（y = 4x’(t) + x(t)）

系统模拟框图由于软件限制和能力有限不严谨，以教材为准。

一、由微分方程画LTI系统模拟框图的一般步骤：

1.微分方程中不含激励的导数的

（1）先画出微分方程同阶个积分器；

（2）以最后一个积分器的输出端为y(t)；

（3）左边边第一个积分器的输入端就是y’’(t)，也就是加法器的输出；

例1 已知y’’(t) + ay’(t) + by(t) = f(t)，画出框图。

1. 先将方程改写为y’’(t) = f(t) - ay’(t) - by(t)

2. 然后按照步骤

（1）画出微分方程同阶个积分器，此处为两个。 

（2）以最后一个积分器的输出为y(t)。

（3）左边第一个积分器的输入端就是y’’(t)，也是加法器的输入。

图1-3-1

图1-3-2 完整模拟框图

2.微分方程中含激励的导数的

（1）引入辅助函数x(t)，用辅助函数构建与原微分方程同系数同阶的与f(t)的新微分方程；

（2）将x(t)看作新的激励，构建与y(t)有关的微分方程，一般x(t)及其导数的阶数和系数与原微分方程中f(t)及其导数的阶数和系数相同。

（3）根据新的两个微分方程画出系统的模拟框图，先画f(t)相关的部分，再由中间辅助函数x(t)过渡到输出y(t)；

例2 已知y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 4f’(t) + f(t)，画出框图。

1.引入辅助函数x(t)，用辅助函数构建与原微分方程同系数同阶的与f(t)的新微分方程。

x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) = f(t)

2.将x(t)看作新的激励，构建与y(t)有关的微分方程，一般x(t)及其导数的阶数和系数与原微分方程中f(t)及其导数的阶数和系数相同。

y(t) = 4x’(t) + x(t)

3.根据新的两个微分方程画出系统的模拟框图，先画f(t)相关的部分，再由中间辅助函数x(t)过渡到输出y(t)；

（1）微分方程x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) = f(t)的系统框图

（2）再由微分方程y(t) = 4x’(t) + x(t)补全模拟框图，响应y(t)为输出。

二、对含激励及其导数的微分方程模拟框图绘制的理解

1.引入辅助函数相当于将系统拆分成了两部分，可以分别看作两个系统。第一个系统的激励为f(t)，响应为x(t)。第二个系统激励为x(t)，响应为y(t)。

2.为什么系统一的微分方程要与总系统的微分方程阶数与系数保持一致？怎样得到y = 4x’(t) + x(t)的？这是为了方便将辅助函数x(t)与y(t)联系起来，构造系统二的微分方程。接下来以例2中的微分方程为例做简单推导。

（1）由y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 4f’(t) + f(t)设辅助函数x(t)，满足x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) = f(t)， 即系统一的微分方程。由于系统是LTI系统，所以如果激励变为4f’(t)，则满足微分方程 4f’(t) = 4[ x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) ]’

那么有

f(t) + 4f’(t) = 4[ x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) ]’ + x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t)

= [4x’(t) + x(t)]’’ + 3[4x’(t) + x(t)]’ + 2[4x’(t) + x(t)]

所以设y = 4x’(t) + x(t)可以满足微分方程y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 4f’(t) + f(t)。

（2）在应用的时候可以直接由微分方程系数和阶数对齐将f(t)及其对应的导数换为x(t)及其对应的导数，设y = 4x’(t) + x(t)就可以了。