量子力学如何打败芝诺的乌龟

    在上次的文章中我们讨论了如何从逻辑学的角度理解芝诺悖论，文章的结尾提到了在现实意义上，由于理论最小可测量长度普朗克长度的存在，阿喀琉斯无法无限小地落后于乌龟，因此芝诺悖论在现实意义上来说是不成立的。这次就来细说一下，量子力学到底是怎样在物理意义上打败了芝诺的乌龟。

前车之鉴

    人类探索无限小的历史已经不可细考。古印度教的胜论派主张世界由不可分割的极微组合而成；中国《庄子·杂篇》中“一尺之棰，日取其半，万事不竭”的论断则认为不存在最小的不可分割的尺度；古希腊爱丽亚学派的代表人物芝诺多罗斯提出的芝诺悖论思考了时间与空间的分割和连续问题。芝诺悖论中最为有名的阿喀琉斯悖论的主要内容是：喀琉斯是古希腊最有名的运动员，他将和一只起跑时领先他一段路的乌龟赛跑，当阿喀琉斯跑完起跑时二者相差的路径时乌龟也前进了一段距离；当阿喀琉斯再次追完二者相差路程，乌龟就又前进了下一段更小的距离……如此循环，阿喀琉斯只会不断接近但却始终追不上乌龟。

    阿喀琉斯的问题引起了人们对于“空间的最小可分割尺度”的问题的思考。十七世纪，随着微积分的创立和经典物理学的蓬勃发展，人们开始系统科学地讨论“最小尺度”的问题。对于数学上无穷小是否存在、如何理解的争辩逐渐有了结果。物理学的进步也为测量手段的改进提供了先决条件。但最小尺度问题的真正解决，要等到现代量子力学的出现。

测不准和绝对的小

    迈克尔·菲尔在著作《啤酒与肥皂》中称量子力学为“研究绝对的小的物理学”。我们知道在经典物理学中，只要采取正确的测量手段就不会对测量对象造成影响。比如测量一辆车的位置和速度（或者说动量），只要用合适的器具正确测量，车的位置和速度总是确定的，不会因为我测量的行为而改变。但是在量子力学的领域中，测量的对象是“绝对小的东西”。什么是绝对小的东西？比如要测量一个电子的位置和动量，我们总是需要用其他的微观粒子来碰撞这个电子，然后观察粒子在碰撞前后的变化来判断电子的状态。但是对于电子这样小的粒子来说，要准确测量位置就必须选用波长足够短的光子才能测得更为精确；而光子波长越短能量越大，碰撞中对电子速度的影响也会越大，于是就无法准确测量电子的动量。如此以至于测量的动作改变了每一个被测量的电子的状态从而产生了不可忽略的偏差，这时就可以说我们测量的对象是绝对小的东西，所做的研究也就归属量子力学。而所谓“不可忽略的偏差”的存在，被人们称为“测不准原理”。

    测不准原理由物理学家维尔纳·卡尔·海森堡在1927年的索尔维会议上正式提出，其主要内容简而言之就是粒子的位置和动量不可能同时确定，二者的偏差的乘积总是大于等于某个值。测不准原理揭示的是物理学的内禀属性，并不会因为测量器具的改进而改变。通过测不准原理，我们也能尝试理解物理学上“测量”的意义：通过观察粒子在碰撞时产生的变化判断被测物的状态。测量的最终精度取决于所取测量粒子的性质，始终不会超出测不准原理所限定的范围。

 小小的黑洞

    测不准原理为测量最小尺度做出了限制，要测得准确的位置信息就必须增大测量用光子的波长，或者说能量。而这个能量的增加是有上限的，上限之一就是史瓦西半径（另一个上限是康普顿波长）。

    1916年卡尔·史瓦西在研究重力场的时候解出了史瓦西半径。简言之，有质量的物体的半径小于它的史瓦西半径时就会变成黑洞。黑洞质量很大光子也无法逃出。而在量子力学当中能量与质量在本质上是相同的。所以当我们测量的尺度足够小，所用的光子波长必须足够短、能量足够大的时候，光子与被测物碰撞所传递的能量可能会使被测物坍缩成一个黑洞。这时就连测量用的光子也无法逃逸，测量也就无法进行了。通过史瓦西半径公式，我们又得到了求出最小尺度的另一半条件。

普朗克长度

    由以上我们知道，测量长度信息时我们选用的粒子要满足测不准原理和史瓦西半径两个条件。由这两个条件可以列出以下公式，借助质量M来求解。因为所测长度总是要大于粒子的史瓦西半径，所以将公式中的史瓦西半径Rs替换为最小尺度lp，就得到了宇宙的最小可测尺度普朗克长度。

    因为普朗克长度是可以测量的最小尺度，光速是宇宙中最快的速度。最快的速度走过最小的尺度的时间也就是我们可以测量的最小的时间，即普朗克时间。一普朗克秒约为5.39×10^-44s.

    要注意的是，普朗克长度指的是最小的可测量长度，是物理意义上有意义的最小长度。假如说：“我取普朗克长度的一半，不是比普朗克长度更小吗？”这种假设在思想上是可行的，但是在实际的物理学实践上是毫无意义的。同样的想法的辨析可以参看笔者上一篇文章。至于在普朗克长度限制之下的世界是如何运行的，究竟是像动画一样逐帧播放、时间空间同时前进，还是粒子以最小单位先进行空间位移再进行时间轴的移动，我们仍然不得而知。

    总之，追逐乌龟的阿喀琉斯现在终于可以确定地追上乌龟了，因为他们之间的距离决定对不可能小于一个普朗克长度；庄子的木棒也终于不能再分；现代物理学的极限也到此为止，普朗克长度之下成为了绝对黑暗的领域。但是，就像当年量子力学和相对论拆除了“已经落成的物理学大厦”一样，没人有资格断言在遥远的未来不会诞生另一种更为精确巧妙、更接近宇宙真理的科学体系。说不定在普朗克长度之下，真的是上帝所处的地方呢？

    其实挺难理解的，毕竟玻尔说过，“谁要是不对量子力学有疑问，谁就不懂量子力学”。谁也无法笃定量子力学就是揭示宇宙本质的终极工具，也没人敢说普朗克长度之下的世界人类无法窥探。谁知道在遥远的未来会发生什么呢~