陶分十三天(4.1)

明天更总结，算是阶段性的成果吧。最近调整一下状态。以及祝各位数学佬身体健康，万事如意，永远不秃。

这次我们准备定义全新的数系，整数。在这一节里，我们运用了大量逐字重复的定义方式。(所以早上看的我眼皮打架)。同时，我们还用到了许多第二章已经证明了的结论。

整数的定义

 我们在开始定义的时候，通常需要满足一些条件:(1)，规定什么时候定义的结果是相等的。(2)，规定定义的结果该怎样进行运算。(3)，让定义并非循环的，即定义依赖定义本身。也就是相等公理和构造性本身。非循环定义保证了定义的构造是有效的。相等公理的前三条给了新定义的第一条范畴，使其有价值。运算则给了定义生命力。第四条相等定义确保运算定义的有效性。我们在给出新的基本运算的时候，都要保证它符合替换公理。

  接着我们定义了形式差，以防止循环定义。接着是整数和，以及整数积。这些定义在完成了定义，理解和证明后，就再也用不到了。我们能够转回我们更熟悉的感觉来使用它们。

4.1.1，典

整数的三歧性

 定义负运算

 另外一种三歧性：负，0，正。这种性质是分类的基础。

4.1.2，结合三歧性分类用的多。

4.1.3，同

交换环

 x，y，z∈Z

 (x+y∈Z，xy∈Z，封闭性)

 x+y=y+x，加法的交换律

 (x+y)+z=x+(y+z)，加法的结合律

 x+0=0+x=x，加法的单位元(左右)

 x+(-x)=(-x)+x=0，加法的逆元(左右)

 xy=yx，乘法的交换律

 (xy)z=x(yz)，乘法的的结合律

 x1=1x=x，乘法的单位元(左右)

 x(y+z)=xy+xz

 (y+z)x=yx+zx，乘法的分配律

4.1.4，经典坐牢题。但是推荐闲的没事可以记住证明的感觉，练一练一眼丁真的能力，而不是证一步看一步。可能挺有意思的。

减法运算

 从虚拟减法，到形式减法，到负，最后再到真正的减法。数学中，这种过程是很普遍的。

 零因子

 消去律

排序

 序，和自然数差不多流程

 三歧性：大于，等于，小于。

4.1.5，能怎么办，分类呗。

4.1.6，第一种确实巧妙。重要的是将战场拖回更完备的自然数领域。

4.1.7，简单，毕竟都用不到归纳法的了。

4.1.8，回来吧我的归纳法~我最骄傲地……我归纳法无敌吔!!

 

今天水过了。