Quantum Physics I, Lecture Note 4 | Quantum Physics I | Physics | MIT OpenCourseWare

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1 de Broglie wavelength and Galilean transformations 德布罗意波长和伽利略变换

我们已经看到，对于任何具有动量p的自由粒子，我们可以关联一个平面波，或者称为“物质波”，其德布罗意波长为λ = h/p，其中p = |p|。问题是，什么样的波？嗯，这个波最终被认为是所谓的波函数的一个例子。正如我们将会看到的，波函数受Schrödinger方程的支配。正如我们所暗示的，波函数为我们提供了关于概率的信息，我们将会详细发展这个想法。

  这个波是否具有类似电磁波中电场和磁场的方向或偏振特性呢？是的，存在这样的类比，尽管我们现在不会深入探讨。偏振的类比对应于自旋！在许多情况下，自旋效应是可以忽略的（例如，小速度、无磁场），因此我们只使用一个标量波，一个复数。

这取决于时间和空间。脑海中浮现出几个显而易见的问题。波函数是否可测量？它是什么样的物体？它描述了什么？为了试图对此有所直观理解，让我们考虑不同观察者如何感知一个粒子的德布罗意波长，这应该有助于我们理解我们正在谈论什么样的波。回想一下，

其中k是波数。在坐标系变换下，这个波将如何表现？

  因此，我们考虑两个参考系S和S'，其中x轴和x'轴对齐，且S‘相对于S'沿着S的+x方向以恒定速度v向右移动。在时间等于零时，这两个参考系的原点重合。

  这两个参考系的时间和空间坐标之间存在着伽利略变换关系，该变换关系表明：

的确，在所有伽利略参考系中，时间的流逝速度都是相同的，而x和x之间的关系可以从图1所示的排列中清楚地看出。

现在假设两个观察者都专注于以非相对论速度运动的质量为m的粒子。在S参考系中称速度为v*，动量为p = mv*。通过对(1.3)中的第一个方程式关于t = t'进行微分，可以得出以下结论：

这意味着在S’参考系中，粒子的速度v*'可以由以下方式给出：

将其乘以质量m，我们可以得出两个参考系中动量之间的关系。

S参考系中的动量p可能与S'参考系中的动量p'相差很大。因此，S参考系和S'参考系中的观察者将得到相当不同的德布罗意波长λ和λ'！实际上，

这非常奇怪！正如我们现在回顾的那样，对于在介质的静止参考系中传播的普通波（如声波或水波），伽利略观察者会发现频率变化，但波长不会改变。这在直观上是清楚的：要找到波长，只需要在某个给定的时间拍摄波的图像，两个观察者观看该图像时将会同意波长的值。另一方面，要测量频率，每个观察者必须等待一段时间，以看到波经过他们的一个完整周期。这对不同的观察者来说需要不同的时间。

  让我们定量地证明这些论断。我们从这样一个陈述开始，即波的相位φ = kx − ωt 是伽利略不变量。波本身可以是cos φ、sin φ或一些组合，但事实是，在任何点和时间上，波的物理值必须由两个观察者共同认定。波是可观测量。由于波的所有特征（峰值、零点等等）都受相位的控制，两个观察者必须就相位的值达成一致。

其中V = ω/k是波速。请注意，波长可以从x的系数读取（2pi/λ)，而ω是负的t的系数(-w)。两个观察者应该就φ的值达成一致。也就是说，我们应该有：

其中坐标和时间由伽利略变换相联系。因此，

由于右侧是用撇号变量表示的，我们可以从x'的系数中获取λ'，将ω’视为t'的系数的负数：

这证实了我们所声称的，在介质中传播的物理波中，波长是伽利略不变量，而频率会发生变换。

  那么，在伽利略变换下物质波的波长发生变化意味着什么呢？这意味着Ψ波是不能直接测量的！它们的值不对应于一个所有伽利略观察者必须达成一致的可测量数量。因此，波函数在伽利略变换下不必是不变的：

其中（x，t）和（x'，t'）由伽利略变换相联系，因此表示相同的点和时间。您将在作业中找出Ψ(x, t)和Ψ'(x'，t')之间的正确关系。、

具有动量p的德布罗意波的频率ω是多少？我们有...

这确定了波长与动量之间的关系。波的频率ω由以下关系确定：

这也是德布罗意所假设的，并将ω与粒子的能量E相关联。请注意，对于我们关注的非相对论粒子，能量E由动量通过以下关系确定

我们可以提供三个证据表明（1.15）是一个合理的关系。

1 如果我们将物质波叠加在一起形成代表粒子的波包，这个波包将以所谓的群速度vg移动，实际上与粒子的速度一致。群速度是通过对ω关于k进行微分找到的，我们将很快回顾：

2 这个关系也受到了特殊相对论的启示。一个粒子的能量和动量分量构成了一个四维矢量

同样地，对于相位是相对论不变的波，我们有另一个四维矢量

将两个四维矢量设置为相等是一种一致的选择：它在所有洛伦兹参考系中都是有效的。正如您所看到的，德布罗意关系都可以从

3 对于光子，（1.15）与爱因斯坦的能量量子一致，因为E = hν =hω。总之，我们有...

这些被称为德布罗意关系式，对于所有粒子都是有效的。

2 Phase and Group Velocities 相位和群速度

为了理解群速度，我们形成波包并研究它们移动的速度。为此，我们将简单地假设ω(k)是k的某个任意函数。考虑由平面波e^[i(kx−ω(k)t)]的叠加给出的...

我们假设函数Φ(k)在某个波数k = k0附近呈峰值，如图2所示。

为了引导接下来的讨论，考虑当Φ(k)不仅在k0附近呈峰值，而且还是实数（我们将稍后放弃这个假设）的情况。在这种情况下，被积函数的相位ϕ仅来自指数部分：

我们希望了解波包ψ(x, t)在哪些x和t取值时会变大。我们使用稳相原理：由于只有在k ∼ k0的情况下，对k的积分才有可能给出非零贡献，相位因子在k = k0处必须稳定。这个想法很简单：如果一个函数乘以一个快速变化的相位，积分会被抹去。因此，相位在k0处必须有零导数。将这个想法应用到我们的相位上，我们找到导数并在k0处将其设为零：

这意味着在 k0 处 ψ(x, t) 是可观的，其中 x 和 t 有以下关系：

表明波包以群速度移动，

练习  如果Φ(k)不是实数，写成Φ(k) = |Φ(k)| * e^(iφ(k))。找出（2.25）的新版本，并展示波的速度没有改变。

  现在让我们进行更详细的计算，以确认上述分析并提供一些额外的见解。首先注意到：

我们在k = k0附近对ω(k)进行泰勒展开：

然后我们找到，忽略O((k - k₀)²)项：

将所有与k无关的因子从积分中提取出来是方便的：

与（2.27）进行比较，我们意识到上述表达式中的积分可以用波函数在零时刻的形式来写：

表达式前面的相位因子在追踪波包所在位置时并不重要。特别地，我们可以对方程两边取模，从而找到：

如果ψ(x, 0)在某个值x₀处达到峰值，从上述方程可知|ψ(x, t)|会在以下值处达到峰值：

这表明波包的峰值随速度vgr = dω/dk在k0处的值而移动。

3 选择自由粒子的波函数

与能量E和动量p相关联的粒子的波的数学形式是什么？我们知道ω和k是由E = ℏω和p = ℏk确定的。假设我们希望我们的波在+xˆ方向传播。以下所有内容都是可能作为粒子波函数候选的示例。

1. sin (kx − ωt)

2. cos (kx − ωt)

3. e^i(kx−ωt) = e^(ikx)e^(−iωt) - time dependence e^(−iωt)

4. e^−i(kx−ωt) = e^(−ikx)e^(iωt) - time dependence e^(+iωt)

在第三和第四个选项中，我们已经指出时间依赖性可以具有任何符号。我们将使用叠加原理来决定哪个是正确的！我们正在寻找一个在所有x值上都非零的波函数。

让我们逐一来看一下。

从式(1)开始，我们构建一个叠加态，其中粒子在+x和-x方向上具有相等的被发现运动的概率。

展开三角函数，这可以简化为：

但这个结果是不合理的。在某些特定的时刻，波函数在所有 x 处都会恒等于零。

波函数为零的情况不能表示一个粒子。

从（2）构建一个波函数，其中包含x左行和x右行余弦波的叠加。

这个选择也不合适，当ωt = (π/2,3π/2,5π/2,…)时，它也会完全消失。

让我们尝试从（3）中进行类似的指数叠加位置，两者都具有相同的时间依赖性。

这个波函数符合我们的标准！它在所有x的值上永远不会为零，因为e^ −iωt从未为零。

从（4）中叠加态的指数也符合我们的标准。

这在所有的x值上都不会为零。

既然选项（3）和（4）似乎都能起作用，我们问：我们是否可以同时使用（3）和（4）来表示一个向右移动（在+xˆ方向上）的粒子？让我们假设我们可以。然后，由于将一个状态加到自身上不应改变状态，我们可以使用（3）和（4）的和来表示向右移动的粒子。

然而，这与（2）相同，而我们已经展示了这会导致困难。因此，我们必须在（3）和（4）之间进行选择。

这个选择是一种惯例，所有物理学家都使用相同的惯例。我们选择自由粒子的波函数为：

表示一个粒子的

在三维空间中，相应的波函数将是。

表示一个粒子的