分割问题的若干结论

一个m×n的大矩形可以由a×b的小矩形拼接而成，当且仅当（1）mn=ab；（2）m和n均可写成a和b的和的形式；（3）n或m是a的倍数且n或m是b的倍数。【尼古拉斯•德布鲁因，大卫•克拉那尔，1969】

存在至少一种分割问题，该问题不能由涂色法证明。【约翰•康威，杰佛瑞•拉加利亚斯，1990】

“一个由方块并列构成的图形能否由水平放置的1×2矩形和竖直放置的1×3矩形构成？”是一个NP完全问题。【埃里克•雷米拉，迈克•罗伯森，1995】

3.1  如果取消水平竖直的限制，复杂程度为O(n)。【埃里克•雷米拉】

传递定理：若矩形R能以一系列矩形瓦块拼接而成，且每一个矩形瓦块都至少有一条边的长度为整数，则矩形R本身也至少有一条边的长度为整数。

4.1  传递定理可以推广到有理数和代数数。

最少需要21个大小不同的正方形才能拼成一个大正方形，且此时拼接的方式是唯一的。【杜维斯•迪恩，1978】

可以用边长为1,2,3,…,n的正方形铺满整个平面，且每个正方形仅用一次。【佛雷德里克•亨勒，詹姆斯•亨勒，2008】

当且仅当t为代数数，且其极小多项式的所有根的实部为正数时，1×t矩形的相似矩形可以拼接成正方形。【克里斯•佛雷凌，丹•里纳，1994；米克洛斯•拉斯科维奇，乔治•塞凯赖什，1995】

只有不超过2种分割方法可以将一个大矩形分割成三个完全相同的部分，且分割得到的部分也必须是矩形。【萨穆埃尔•马尔特比，1992】

若矩形（正方形）能以等面积三角形拼接而成，则三角形的数目为偶数。【保罗•蒙斯基，1970】