美国数学竞赛题,代数式求值专题,难度大,学会解题方法轻松搞定

题一、代数式求值
已知：(a−1)⁴+(a+1)⁴=16
求：a²⁰²²

分析题目
一元四次方程，典型的两共轭式子的四次方和为常数，直接展开即可，共轭式子四次方和展开的话，奇次项都抵消掉了，剩下偶次项，直接换元即可求解，思路清晰！

参考答案

题二、代数式求值
已知：x=(4−√7)/3
求S=x²/(x²(x²+1)+1)

分析题目
这种已知是无理数的的高次代数式化简，基本套路就是建立合适的降幂等式，当然哪种降幂等式合适且高效率，那就要具体分析所求的代数式，根据所求代数式来决定需要哪种降幂等式

参考答案

题三、代数式求值
已知：x−y=√2+1，y−z=√2−1
求x²+y²+z²−xy−yz−zx

分析题目
看似无从下手的一道题，其实分析所求，为二阶轮换齐次对称式，如何凑配项次，题目有解，那必然需要凑二阶轮换对称式求解，思路有了，关键是尝试不同的方式，直至找到突破口

参考答案

题四、代数式求值
已知，a²+3a−1=0，b²−3b−1=0，ab≠1
求1/a²+3b的值

分析题目
已知是两个一元二次方程，直接求解也可以，显然计算量大，思路不可取，分析系数的关系，从而韦达定理来构造一元二次方程，从而得到根与系数的关系，是这类题破题的关键，高效率解题。

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题五、代数式求值
已知：x+y+z=0
求((x+y)³+(y+z)³+(z+x)³)/(xyz)

分析题目
已知很简洁，但是信息量很大，简单移项就能拆分出不同的关系式，其实最直接暴力的解法，就是，考虑到所求的分子分母是三阶齐次轮换对称式，那直接待定系数法直接求解，当然，熟悉和的立方展开式那就更加一目了然了。

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