平行线分三角形梯形的对角线交点在三角形中线

2023-02-22 06:25 作者:狮子朗道 0人读过 | 我要投稿

也即，三角形作底边平行线与另外两边构成梯形。这个梯形的对角线交点在三角形中线上。

证明：

假设G不为BC中点， $%5Cfrac%7BBG%7D%7BGC%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cneq%7B1%7D$ .

我们有等高三角形的面积比 $S_%7B%5Cbigtriangleup%20ABG%7D%3AS_%7B%5Cbigtriangleup%20ACG%7D%3D1%3Ak%2C%5Cquad%20S_%7B%5Cbigtriangleup%20FBG%7D%3AS_%7B%5Cbigtriangleup%20FCG%7D%3D1%3Ak$ .

而 $%5Cbigtriangleup%7BABG%7D%5Cbacksim%5Cbigtriangleup%7BADH%7D$ , $%5Cbigtriangleup%7BACG%7D%5Cbacksim%5Cbigtriangleup%7BAEH%7D.$

我们有

$DH%3D%5Cfrac%7BAH%7D%7BAG%7DBG%2C%5Cquad%7B%7DEH%3D%5Cfrac%7BAH%7D%7BAG%7DCG%5Cquad%7B%7D%2C%0A$

$DH%3AEH%3D1%3Ak.$

故而类似的等高三角形面积比，

$S_%7B%5Cbigtriangleup%20ADH%7D%3AS_%7B%5Cbigtriangleup%20AEH%7D%3D1%3Ak%2C%5Cquad%20S_%7B%5Cbigtriangleup%20FDH%7D%3AS_%7B%5Cbigtriangleup%20FEH%7D%3D1%3Ak.%0A$

故而

$%0A%5Cfrac%7BS_%7B%5Cbigtriangleup%20DBF%7D%7D%7BS_%7B%5Cbigtriangleup%20ECF%7D%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Cbigtriangleup%20ABG%7D-S_%7B%5Cbigtriangleup%20ADH%7D-S_%7B%5Cbigtriangleup%20FDH%7D-S_%7B%5Cbigtriangleup%20FBG%7D%7D%7BS_%7B%5Cbigtriangleup%20ACG%7D-S_%7B%5Cbigtriangleup%20AEH%7D-S_%7B%5Cbigtriangleup%20FEH%7D-S_%7B%5Cbigtriangleup%20FCG%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cneq%201%20%5Ctag%7B1%7D$

而我们知道，梯形对角线分左右两个小三角形面积应该是相等的. 详细如下（证明）.

对等底等高的三角形有

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%0AS_%7B%5Cbigtriangleup%20DBC%7D%26%3DS_%7B%5Cbigtriangleup%20ECB%7D%20%5C%5C%0A%0AS_%7B%5Cbigtriangleup%20DBC%7D-S_%7B%5Cbigtriangleup%20FBC%7D%26%3DS_%7B%5Cbigtriangleup%20ECB%7D-S_%7B%5Cbigtriangleup%20FCB%7D%20%5C%5C%0A%0A%7BS_%7B%5Cbigtriangleup%20DBF%7D%7D%26%3D%7BS_%7B%5Cbigtriangleup%20ECF%7D%7D%20%5Ctag%7B2%7D%0A%0A%5Cend%7Balign*%7D$

(1)与(2)冲突，故而假设不成立. 我们得到G为BC中点■

证毕.

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