大结局:考研高数·结论方法库简略版(6)常微分方程

续上一集，这一集更微分方程的结论方法库简略版

22考研数一大纲局部：

八、常微分方程

常微分方程的基本概念、变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程、可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程、线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程、欧拉(Euler)方程、微分方程的简单应用.

考试要求

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.

3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.

4.会用降阶法解下列形式的微分方程：y"=f(x)、y"= f(x,y')和y"=f(y,y').

5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.

7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

8.会解欧拉方程.

9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.

结论：

6.1、分离变量第一位

解常微分方程时分离变量拥有最高的优先级，能分离变量的优先分离变量。分离变量型通常是最简易的功能元。

6.2、一阶线性方程是有通解公式的功能元

6.3、伯努利方程可以通过变量代换z=y^1-n降解为一阶线性方程

6.4、全微分方程的通解是原函数，需要用曲线积分的基本定理。为了好求通常加装单连通、无旋。

6.5、不显含y的二阶线性微分方程等效为y'=p的一阶线性微分方程，可以降阶。

6.6、不显含x的二阶线性微分方程也等效为y'=p的一阶线性微分方程，可以先化为p的一阶线性方程，再解一个可分离变量的一阶方程

6.7、线性方程解的结构和性质定理：

6.8、二阶常系数非齐次线性微分方程设特解的两种情况

6.9、欧拉方程可以通过变量代换t=lnx降解为常系数微分方程