『数学』几何例题精讲1("12345"模型)
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第三期:几何例题精讲1("12345"模型)(你现在所在的位置)
读前须知:
这周好像双更了诶!
本期专栏建议备战中考的同学们观看.
正文:
别问我这周为什么两更,问就是以后因为学业原因可能更新不了了,想现在先把想更新的给更了,免得以后不想更新它了(悲.
一.例题
那就来看看这一期的题吧.
例.在Rt△ABC中,AC=BC,∠CB=90°,D为BC上一点.
(1)如图1,过点C作于点E,连接AD,DE.若AD平分∠BAC,CD=2,求DE的长;
(2)如图2,以CD为直角边,点C为直角顶点,向右作等腰Rt△DCM,将△DCM绕点C顺时针旋转α°(0<α<45),连接AM,BD,取线段AM的中点N,连接CN.求证:BD=2CN;
(3)如图3,点E,F在边AB上,连接CE,CF,且CE=CF,点D为BC的中点,连接DE,交CF于点P.将△BDE沿着DE翻折,点B的对应点为点G,连接CG.若CE=DE,,请直接写出△CEG的面积.
说实话,(1,2)问确实不难.
像几何压轴的话(3)问才是含金量最高的.
那么你们再看看题,如果要去学"12345"模型的同学们的话就直接跳过讲解去学习吧.
二.讲解
(1)问的话,我们一看到角平分线就想到作垂线,有角平分线上的点到角两边的距离相等.
那我们就过D作于F.如图4:
易得CD=DF=2,则FB=2,.
由于,可得
.
由勾股定理,可得.
(2)问感觉有点考烂了,做题都遇到几次这种样子的题了(恼.
如图5,延长AC至E,使CE=AC,连接EM.
根据"手拉手"模型可知,可得DB=ME.
根据C,N分别是AE,AM中点,可得CN为△AEM的中位线,那么就有DB=2CN.
而(3)问,如果你知道"12345"模型的话,会对作这题有一定的帮助,不然我考试的时候也做不完这个题了(确实.
根据翻折,有CD=BD=GD,这一看就应该把BG给连起来,这样我们就可以得到一个Rt△了.
而B,G正好又是翻折的对应点,所以我们把ED延长出去交BG于H,就有∠EHG=∠CGB=90°了,这不就证明到CG平行于EH了吗?如图6
这样一来呢,就有S△CEG=S△CDG=½S△CGB了.换言之,现在我们我们的目标就是解直角三角形CGB力.
要解直角三角形呢,我们至少要知道一边和一个角是某一个三角函数值,对吧?那么接下来我们就从三角函数的思路来解决这个几何题.
这里我们连接AD,作于Q,
于S,
于T.如图7:
在这个题里,F和T正好重合了(严格来说,就是同一个点),所以这里就在F后打个括号,代表这里也是T点.
不妨设AC=4a,则CD=BD=2a,CH=DH=a,记HB=HE=3a.
易得tan∠CAD=tanα=½,tan∠HEC=tan∠HED=tanβ=⅓.
因为,则tan∠TAD=⅓.
这样我们就可以得到α+β=45°的结论.
可得∠PEF=α,∠PFE=α+2β=45°+β.可以推出∠EPF=90°,可得CF平行于BG,可得∠CGB=β.
那么.
又可得,可推出BC=4.
那么.
所以S△CGB=,可得S△CEG=
.
这里我补充一下角的标注,方便复盘(密集恐惧症应该不会怕吧).如图8:
那么这个题就讲到这里为止.
三.方法讲解:"12345"模型
所谓"12345"模型,就是指"若tanα=½,tanβ=⅓,则有α+β=45°"的命题成立.
那么该怎么证明呢?其实刚刚的题目已经证明过了,但我这个证明可以顺便证明一些推论.
如图9,有.且有2α+2β=90°,即α+β=45°.
而90°-α=45°+β,90°-β=45°+α,又根据则可得tan(45°+β)=2,tan(45°+α)=3.
这些结论同学们可以记一下,万一哪些题就可以用呢?对吧,这样你也正好捡了个漏,完全不亏o(￣▽￣)ｄ.
这期就不给下一期的题目的,也不知道下一期什么时候更新,就别说下期写什么了(悲.
后记
看在up主在这周给你们更新两个作品的份上,那个东西可以给一个吧?
也许这应该是现阶段的最后一次更新了吧(悲,但我还是尽力抽时间给你们更新.
工程链接:
(1,2)问: https://www.desmos.com/geometry/aowk1rnsqh?lang=zh-CN ;
(3)问: https://www.desmos.com/geometry/votqaulc7l?lang=zh-CN .
那我们有缘下一期专栏再见咯,ヾ(￣▽￣)Bye~Bye~.
