平面几何题目分享（8）

（写在前面凑字数）本题集主要由我比较喜欢的平面几何题目组成，也包括一定量改编或自编题。一期的内容暂定为：上一期解答＋本期题目。由于信息有限，部分题目可能无法标注出处。题目难度基本会保持在高联难度，有时也会出现一些较简单或较困难的题。（本题集无任何教育功能或目的，仅供娱乐）

如图H为△ABC垂心，过H的直线交AB于M，交AC于N，AM=AN，线段AN上一点P满足HP=HN，延长PH交BN于Q，求证：MN平分∠PMQ。 

这道题的解题过程有些复杂，但我仍将其认定为高联难度（大佬们如有简便的做法欢迎给出！），图中存在一个较为明显的熟知结构，即过垂心的线段MN。

做出垂线CD，BE，由垂直及等腰三角形ANM带来的等角，可得黄绿三角形相似。继而有BM/MH=CN/NH。但是，现在还看不出这个结论对证明的帮助。我们要让它“遍地开花”，这里我用到了一个很经典的双圆倒角模型。

做出△AMN与△ABC的外接圆，设两圆再次交于点F由对视角相等，得黄绿三角形相似。便有BM/CN=FM/FN=MH/HN。我们发现，FH是∠MFN的角平分线！再由AM=AN，易得AF⊥FH。

设⊙（AMN）与BN再次交于G，倒角易得AMHP，MGQH两组四点共圆，可将证明问题转化为证∠HAN=∠HGN。（相当于消去了PQ两点）

回到AF⊥FH，由垂直得黄绿两角互余，由对视角相等得∠AFB=∠ACB。再由AH⊥BC，可得∠HAC=∠HFB。所以，只需证∠HFB=∠HGN，即FHGB四点共圆。

接下来的证明也不算困难，倒角即可

AE⊥AC，AF⊥FH → AFEH四点共圆→∠FAE=∠FHE；AFNG四点共圆→∠FAN=∠FGN→∠FHE=∠FGN→FHGB四点共圆。

至此，此题的证明便全部结束了。

最后放一张完整的图吧，有些乱，但个人感觉挺好看的。

感觉上一期解答＋本期题目的模式把一题的时间拉得太长，打算改为一期一题。所以原定为这期的题就鸽到下期了（不要找借口（（

预告一下，是一道经过爆改的月考解析几何大题，塞了一点调和点列进去