五年之间，套路重演（2017课标Ⅰ圆锥曲线）

2022-08-27 22:17 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2017课标Ⅰ，20）已知椭圆 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ），四点 $P_1%5Cleft(%201%2C1%20%5Cright)%20$ 、 $P_2%5Cleft(%200%2C1%20%5Cright)%20$ 、 $P_3%5Cleft(%20-1%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ 、 $P_4%5Cleft(%201%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）设直线 $l$ 不经过 $P_2$ 且与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点.若直线 $P_2A$ 与直线 $P_2B$ 的斜率之和为 $-1$ ，证明： $l$ 过定点.

解：（1）易知 $P_1$ 不在椭圆 $C$ 上，

而 $P_2$ 、 $P_3$ 、 $P_4$ 在椭圆 $C$ 上，

所以 $b%3D1$ ，并且 $%5Cfrac%7B1%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ ，

解得 $a%5E2%3D4$ ，

所以椭圆 $C$ 的方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2By%5E2%3D1$ .

（2）先画个图感受一下：

设 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $%5Cleft(%20x_1%2Cy_1%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%20x_2%2Cy_2%20%5Cright)%20$ ，

椭圆 $C$ 的方程可变形为

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%2B2y-1%3D1$ ，

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%2B2%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%3D0%7D$ ，

设直线 $l$ 的方程为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bmx%2Bn%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%3D1%7D$ ，

与椭圆 $C$ 的方程联立，得

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%2B2%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5Cleft%5B%20mx%2Bn%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20%3D0$ ，

展开

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%2B2mx%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%2B2n%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%3D0$ ，

并项

$%5Cleft(%202n%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%2B2mx%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%3D0$ ，

各项同除以 $x%5E2$ ，得

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%202n%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7By-1%7D%7Bx%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B2m%5Ccdot%20%5Cfrac%7By-1%7D%7Bx%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%3D0%7D$ ，