【高等数学第1讲】数列的极限（含前言）

第一章 数列的极限

一、知识点

1. 极限ε-N定义：
   

   2、数列的极限 P2 - 13:57

   
2. 极限的性质：
3. 唯一性：
   

   2、数列的极限 P2 - 33:10

   
4. 有界性：
   

   2、数列的极限 P2 - 48:29

   
   （数列有界性）
5. 上界、下界
6. 数列有界当且仅当该数列既有上界又有下界。
7. 如果数列收敛，则必有界（反之未必成立）
8. 保号性：
   

   2、数列的极限 P2 - 01:02:57

   
   （数列极限的保号性）
9. 推论：
   

   2、数列的极限 P2 - 01:07:43

   
10. 数列的子列定义：
    

    2、数列的极限 P2 - 38:38

    
11. 收敛数列与子数列的极限相等
12. 若存在两个子数列不收敛于同一常数，则原数列发散。
    

    2、数列的极限 P2 - 44:53

    
13. 数列收敛必有界，但有界的数列不一定收敛；无界的数列一定发散。
    

    2、数列的极限 P2 - 47:21

    
14. 数列极限的存在准则（审敛准则）：
    

    2、数列的极限 P2 - 01:08:03

    
15. 迫敛定理（夹逼准则：
    

    2、数列的极限 P2 - 01:08:48

    
16. 单调有界准则：
    

    2、数列的极限 P2 - 01:22:45

    
    单调+有界->收敛
17. 给出数列递推关系，证明数列极限存在或求极限，一般就会用到单调有界准则

二、证明

1. 使用极限ε-N定义证明数列极限：
   

   2、数列的极限 P2 - 24:38

   
2. 极限性质的证明：
3. 唯一性证明：
   

   2、数列的极限 P2 - 33:45

   
4. 有界性证明：（见5，6）
5. 保号性证明：
   

   2、数列的极限 P2 - 01:04:25

   
6. 证明收敛数列与其子数列的极限相等：
   

   2、数列的极限 P2 - 40:59

   
7. 使用收敛数列于其子数列关系的逆否命题反证数列发散：
   

   2、数列的极限 P2 - 44:50

   
   

   2、数列的极限 P2 - 46:26

   
8. 证明“数列有界当且仅当数列同时有上界和下界”
   

   2、数列的极限 P2 - 52:44

   
9. 证明“若数列收敛，则必有界（反之未必成立）”
   

   2、数列的极限 P2 - 57:23

   
10. 迫敛定理（夹逼准则）证明
    

    2、数列的极限 P2 - 01:10:47

    

三、计算

1. 使用夹逼定理求数列极限：
   

   2、数列的极限 P2 - 01:13:57

   
2. 数列极限多考虑夹逼准则：
   

   2、数列的极限 P2 - 01:21:33

   
3. 侧重于概念理解的题：
   

   2、数列的极限 P2 - 01:32:42

   
4. 两个数列比值的极限存在，不能推导出这两个数列的极限存在（加法同理）
5. 一道有趣的证明数列极限存在并求出其极限的题？：
   

   2、数列的极限 P2 - 01:41:30

   
6. 分析：当x>0时，sinx恒<x；若sinx=x,则必有x=0；
7. 证明极限存在与求极限应分为两步，不能混为一谈；