凝聚态场论常用公式（3）：晶格振动的频率分布函数

2023-03-17 14:59 作者:打电动的阿伟嘻嘻嘻 0人读过 | 我要投稿

晶格振动的频率分布函数也就是声子的态密度. 声子的态密度可以写为

$g(%5Comega)%3D%5Csum_%7Bj%7D%5Csum_%7B%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D%5Cdelta(%5Comega-%5Comega_%7Bj%7D(%5Cboldsymbol%7Bk%7D))%3D%5Clim_%7B%5CDelta%5Comega%5Cto0%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CDelta%5Comega%7D(%5Csum_%7Bj%7D%5Csum_%7B%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D)_%7B%5Comega%5Cleq%5Comega_%7Bj%7D(%5Cboldsymbol%7Bk%7D)%5Cleq%5Comega%2B%5CDelta%5Comega%7D.$

值得一提的是，第二个式子利用了 $%5Cdelta$ 函数的辅助函数. 有约束条件及求和替换规则

$%5Cint%5E%7B%5Cinfty%7D_%7B0%7Dg(%5Comega)d%5Comega%3D3nN%2C%5C%20%5Csum_%7B%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D%5Cto%5Cfrac%7B%5COmega%7D%7B(2%5Cpi)%5E3%7D%5Cint_%7BFBZ%7Dd%5Cboldsymbol%7Bk%7D.$

利用重积分的累次积分公式，把体积分化为面积分，dS为频率 $%5Comega$ 对应的等频率面的面积元

$%5Cint_%7B%5Comega%5Cleq%5Comega_%7Bj%7D(%5Cboldsymbol%7Bk%7D)%5Cleq%5Comega%2B%5CDelta%5Comega%7Dd%5Cboldsymbol%7Bk%7D%3D%5Cint_%7BS%7D%5CDelta%20k%5C%20dS.$

又有变量代换,

$%5CDelta%20k%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5Comega%7D%7B%7C%5Cnabla_%7B%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D%5Comega_j(%5Cboldsymbol%7Bk%7D)%7C%7D.$

所以态密度可以写为

$g(%5Comega)%3D%5Cfrac%7B%5COmega%7D%7B(2%5Cpi)%5E3%7D%5Csum_%7Bj%7D%5Cint_%7BS%7D%5Cfrac%7BdS%7D%7B%7C%5Cnabla_%7B%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D%5Comega_%7Bj%7D(%5Cboldsymbol%7Bk%7D)%7C%7D.$

其中 $%7C%5Cnabla_%7B%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D%5Comega_%7Bj%7D(%5Cboldsymbol%7Bk%7D)%7C%3D0$ 的奇点称为 Van Hove奇点.

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