Electromagnetism3

关于狭义相对论的其它讨论。主要是Lorentz变换。

前一篇文章讲了坐标变换的两种方式。在狭义相对论的教学中把它搞成完全是矩阵运算，但是对于三阶张量就不行了；从广义相对论角度来看能看出更多东西来。

总的来说这篇文章想讨论的是：张量的坐标变换问题。我们理解张量是按照基展开形式来理解的，然后坐标变换可以把基做变换，也可以直接套张量分量那个partial/partial的公式。这不限于Lorentz变换，还可以是更加一般的变换。【这是第一种方法】

如果不想对张量做变换，其实直接投影在观测者Frenet坐标也是行的。倒不如说后者的物理意义更加直接；前者更大是数学意义上的。前面这句话说的是广义相对论，狭义相对论的Lorentz变换还是有全局的意义的；广义相对论则只能看局部了。【这是第二种方法】

首先还是仅仅讨论一下Lorentz变换。注意后面c全部省略掉了，在结果上自动补上去是很容易的。

第一，在平移坐标时，(t,x,y,z)->(t',x',y',z')是怎么变的，也就是新坐标网和旧坐标网之间的函数关系是什么？两个要求：1.反映在三维空间中是速度v的沿x方向的匀速直线运动；2.变换之后仍然保持度规diag(-1,1,1,1)。

显然，y和z方向没有变动。所以只需要考虑t'和x'分别是什么。根据第一个要求，x'必然是a(x-vt)的形式。再根据第二个要求，-dt^2+dx^2=-dt'^2+dx'^2，代入前面那个式子就得到

这样可以列出方程解出来a=\gamma。这个\gamma因子就自然而然显现出来了。最终结果就是：

记住这个式子就完事了。

注意，上面完全是从广义相对论的角度推导出的Lorentz变换，不像传统的构造光速不变的推导方式。所以说Lorentz变换也不是什么本质性的东西，没必要大说特说，光速不变也不是什么本质性的东西。本质还在于Lorentz流形。

第二，其它张量的Lorentz变换如何实现？首先总结一下我们常用到的张量。

1.当然是最基本的

它的变换就是直接的Lorentz变换。

2.度规张量

3.Minkovski空间上的世界线，按照弧长（固有时）参数化。其切向量就是单位向量，即4-速度：

当然还可以有4-加速度等等。

4.考虑动力学，有4-动量：

注意到这个式子包含了Einstein著名的质能方程，而其模1性则给出了质壳关系。4-动量守恒包括了能量守恒与动量守恒，用来求解动力学问题足够。

另外还有光子的4-动量

用于讨论相对论光学问题。

5.电磁场强张量

用于电磁场的变换。

当然前面讨论的是坐标系变换。我们也许可以更简单地用观测者角度来分析。直接投影在观测者的Frenet标架上就知道了观测者的观测值，观测者的世界线可以是任意的；这样就非常方便。这在GR中也是一样（GR是局域的）。

如果从观测者角度出发，就根本不需要Lorentz变换了。

比如说，从观测者角度计算一下电磁场的变换。假设有一个y方向强度为E的均匀电场。一个观测者向x正方向以速度v匀速直线运动。请问它感受到的z方向的磁场有多大？

我们有一个直接的公式：

套进去一算就知道答案是

注意到它是一个小量，它其实说明：磁性是相对论的二阶效应，相对于电场有一个v/c的压低。

如果按照投影来算呢？观测者的Frenet标架为：

t方向：\gamma(1,v,0,0)

x方向：\gamma(v,1,0,0)

y方向：(0,0,1,0)

z方向：(0,0,0,1)

于是观测到的B_3为F_{\mu\nu}的(1,2)部分的投影，即做两次点乘（注意加上度规）：

是一样的结果。当然还是直接套公式简单一点。