数学派每日一题-3.23

题目一如下图：

解析：

本题考查的是复数的基础知识，共轭与模。

由可知，进而

于是

即为所求。注意题目要求，保留两位小数到。

题目二如下图：

解析：

本题需要一些较为复杂的换元技巧。

首先，我们大致估计一下的范围，保证后续换元的合理性（比如这里限定了，如果你令那肯定是不合适的）。为了让递推式中的根号总是有意义的，我们可以得到一个粗略的范围。

然后，为了简化递推式中的常数，我们可以先令，代入化简后递推式变成了，其中，稍微好看了一点。

接下来，我们的思路是消掉根号。一个最简单的想法是：如果通过某种换元，使得，而且这里的不再出现根号，那简直再好不过了。此时，有，根据这个等式，可以选择的换元有三角函数换元（）以及双曲函数换元（）。根据上面的范围约束，我们可以知道，所以上面的两个换元都是可以的。

我们先试试三角函数换元，因为我们对三角函数比双曲函数要熟悉一些，当然如果行不通的话也可以去试试双曲换元。令（方便起见，令），则上述递推式可化为

，即。

我们可以看到，左右两侧出现了的构造，我们期望有。而显然在区间上是单调递增的，所以由我们确实可以得到。

接下来就是计算。首先由可以知道，因此，进而，取绝对值并截取小数点后7位即1.9999811。

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