数学竞赛试卷

@梦嫣姐姐

本卷共有5道题，答题时间12小时。

1.在平面内有正三角形ABC，D是BC上一点，E是ABD的外心，F是ACD的外心连接ED、FD、EF。 请回答以下三个问题。

（1）请证明：DEF是正三角形。

（2）BF、CE交于G，求证G是ABC的中心。

（3）延长BE、CF交于H，求证GH=GC。

2.已知函数y=ln(x+a^x)。

（1）若函数与x轴相切，a=_______。

（2）函数在(0，0)处的切线为kx-y=0，请用a表示k。

3.

4.在3*4的网格内有一颗黑子与两颗白子，按照如下方式移动：黑子开始时处在左上角的格子中，每次移动2格（可以横向竖向各移动1格，禁止斜向移动）。一个白子处在黑子右下角的一格，两个白子相距2格，每个白子每次移动一格。黑先白后。当两个白子都挨在黑子旁边时黑子就输了。请问黑方是否有不输的办法？如果没有，请问白方至多在多少轮之后胜利（黑方白方各动一次称为一轮、两方都采用最佳策略）？请给出证明过程。

5.平面直角坐标系xOy内做一个圆，这个圆的半径为2，圆心为坐标原点O。A（1，0），N（0，1）。C点是这个圆上的一个动点。

（1）请求出角ACB的大小。

（2）延长BC交x轴于D点，延长AC交y轴于E点。作BF垂直于AE，交AE于点F；AG垂直于BD，交BD于点G。当点C在第一象限内移动的时候，FG的长度是定值吗？请证明你的论断。

（3）在平面直角坐标系内，有一点P，使AP垂直于BD交BD于F，BP垂直于AE交AE于G。求证OP、GF相互平分。

（4）M、N分别在x轴，y轴上。CM=MD CN=NE。求证：C在MN上，且MN为圆O的切线。