吴军数学通识-学习笔记（7）虚数、无穷

13｜虚数：虚构这个工具有什么用？ - 得到APP (dedao.cn)

引：

 数学家是如何虚构一个现实中不存在的概念，解决现实问题的？

为什么要有虚数？

 在解二次方程时就会遇到根号里一个负数的情况了，这时老师会说认定他无实数解就可以，但到三次方程这个问题就回避不了了，即使一个有实数解的三次方程，在求解的过程中，也会遇到要对负数开根号的情况，数学家们只好虚构出一个数i（image），让它的平方等于-1，就可以求解了。

例如X^3-15X-4=0的解用费拉里-塔尔塔利亚公式算为

为什么会出现这种情况？

 这在哲学上其实很有意思，明明是现实世界的问题，而且在现实世界里也有答案，但是却无法直接得到，非要发明一个不存在的东西作为桥梁。可以有下面几种理解方式：

一个是化学中的催化剂。它只是起到一个媒介的作用，但是没有它，化学反应要么特别慢，要么干脆进行不下去。

另一个例子就是传话筒。两个人无法见面，需要相互沟通的时候，就可以把信息通过传话筒传递，完成沟通。

从更广义的角度讲，很多数学工具都是如此，我们现实世界的事情，经常要用这些虚构的工具来解决，比如“宗教”“法人”等等，【虚构共识】是人类很重要的能力。（融会）

早期的人类要靠宗教崇拜团结起来，如今人们则需要靠比如法律、有限公司、法人团体等概念，让庞大的社会继续运转

法人：为了处理经济纠纷，就把一些机构看成是法律的主体，和公司打官司时，虽然过程中接触的是人，但告的时候则是针对这个虚构出的组织，打赢官司之后，则是里面具体的人执行对你的赔偿，这就如同解方程时，我们需要借助于虚数，得到实数的解一样。

今天，衡量一个人

认知水平

的一个方法，就是看他接受虚拟概念的能力有多强，如果他只停留在看得见摸得着的东西，这个人的水平就不是很高。我们经常说那些只知道买房置地，收藏奢侈品的人是土财主，其实也是这个道理。

虚数的意义不止如此

：

对数学本身来说，引入虚数之后很多误解的方程就有解了，更漂亮的是，所有的一元N次方程都会有N个解，没有例外。

作为工具来说，有了虚数之后，很多复杂的数学问题，可以用简单的方法解决，比如三次方程，比如便于将直角坐标变成极坐标。

在应用层面来说，量子力学、相对论、信号处理、流体力学和控制系统的发展都离不开虚数。。。

数系的扩张：

ps2023年11月30日：文中式把虚数当做一个媒介作用的工具来看待；如果从数学发现论的角度，或许虚数并不是人构想出来的，而是真实世界的一部分，只不过人类受限于感官或认知水平，无法理解而已。好比最开始人类只觉得有1，2，3三个数 参考，然后慢慢的开始有更大的数字概念，然后是小数概念等，但在人们发现之前，四颗枣树，半个橘子，都说明这些概念是本就存在，只不过人类还没有认识到。。。另外还有比如非欧几何相关，也是当做数学游戏，后来才发现有现实意义，虚数或许也是如此？

14｜无穷：我们为什么难以理解无限的世界？ - 得到APP (dedao.cn) 引：几千年前，庄子说：“夏虫不可以语于冰者，笃于时也。庄子还说：“吾生也有涯，而知也无涯”。但近代人们真的用自己的智慧，去把握到了原本只有上帝才能掌握的领域——无穷。

无穷不是具体的数，无穷是一种趋势

：在绝大多数人心目中，无穷大是一个数，只是它比你能想象的数更大而已，人们依然会用理解一些具体数字的方式去理解它。无穷大的世界和我们日常认知的世界完全不一样，在无穷的世界中往往会颠覆我们的认知。

而比较无穷之间的大小（比如整数个数与线段包含点的个数），实际比较的是变化增加趋势的快慢。

对于无穷大的概念，

关键要理解它是动态变化到了最终尽头的描述

。事实上，无穷代表着一种新的科学世界观，就是让我们关注动态变化的趋势，特别是发展变化延伸到远方之后的情况。

无穷有关的谬误与悖论

希尔伯特旅馆：在我们的直觉中，每个房间都被占据，和无法再增加客人是等同的，但这只是在有限的世界里的等价性，在无穷大的世界里，数学中的很多逻辑都需要重新梳理一遍。

【线段悖论】：我们可以证明一条长5厘米的线段上的点，和一条长10厘米线段上的点是“一样多”的。

无穷大的现实意义：比如比较算法复杂度，只会考虑这两种算法在处理近乎无穷大的问题上的表现，对计算机科学家们来讲，将一个算法从平方的复杂度降低到线性，远比将一个线性复杂度的算法的计算量再减小几倍要重要的多。

[笔记2](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=c2074ce363b20d8f)