未曾经历过的你永远不懂

什么是“多维空间”？简单来说，相邻的两个维度，表示的必须是“对应”关系。比如，二维平面图形与三维立体图形的对应。

一个正方体，它在二维平面，只能表示为平面图形。如果这个立方体在三维立体空间中翻转了一个角度，使得此时二维平面的图形与之前完全一致，我们就无法从二维平面图形中发现立方体的变化。这就是必须建立三维空间的意义。

同样的，在更多维度中，我们必须相信，它也存在不能直接发现的变化。这就是多维度空间建立的意义。

我们做两个完全一样的板子，在板子上钻几个孔。一条线从第一个板子的一个孔穿过，与第二个板子的任意一个孔相连。

现在，只考虑板子上的前两个孔的连线，这样一共是四个孔。将两个板子平行放置好，再规定一个距离，比如1。此时两个板子相互对应的孔，距离也必然是1。将对应的孔，用线段相连，可以得到，线段为1。

我们让同一个板子上的两个孔之间的距离也是1。第一个孔与第二个孔的连线，线段为1。

现在，将第一个板子上的第一个孔与第二个板子的第二个孔相连，它也是一条连线。这样我们就得到一个三角形。它的两条边都是1，所以它是等腰三角形。第一个板的第一个孔与第二个板的第一个孔，线段为1。第一个板子的第一个孔与第二个孔，线段也是1。两条线段形成一个夹角。

保持这两个板子的平行状态，同时移动板子，则夹角的角度改变。

第一个板子的第一个孔与第二个板子的第二个孔，线段长度将随着夹角的变化而变化。这条线段是等腰三角形的底边。而等腰三角形的腰长为1，根据三角函数，就可以求出在任意一个角度时，这条线段的长度。

同样的道理，如果我们将板子固定，也就是保持夹角不变。那么，只要调整同一个板子上相邻两个孔的距离，第一个板子的第一个孔与第二个板子的第二个孔的连线，长度也会改变。

板子的角度或者孔之间距离发生变化时，两个板子孔与孔之间连线也随之变化，我们可以求出每一个变化时，连线的长度。反过来，知道了线段长度的变化，我们也可以猜测，它来自于板子角度，或者孔之间距离的变化。但是从结果来看，我们不能确定，它究竟是因为板子的角度，还是因为孔之间的距离。所以，我们需要用一个特殊的方式分辨。这就是“群论”的产生。

现在我们用三个板子。这三个板子的位置是固定的，孔与孔的距离也是固定的。通过孔在板子上的位置，我们可以精确计算出，孔与孔连线的长度。

每个板子上都是5个孔。让第一个板子的第一个孔，通过第二个板子上的任意一个孔，与第三个板子上的第一个孔相连。

如果我们只检查第一个板子和第三个板子，就会发现，它们的第一个孔是相连的。我们可以画一条直线段来表示。这就是“恒等元”，也就是二维平面。

但是，如果检查第二个板子就会发现，这条线只有在它也通过第二个板子的第一个孔时，才是直线。

如果它通过第二个板子的其他的孔，它就不是一条线段，而是两条线段。

因为孔的位置不同，所以我们可以计算这两条线段的长度，确认它是从第二个板子的哪一个孔通过的。

第二个板子就构成了三维空间。连线在第二个板子的任意一个孔通过后，我们检查第一个与第三个板子的结果，都与二维平面一致。

所以，我们必须从二维平面，进展到三维空间，并且在二维与三维之间，建立对应关系。

通过计算两条线段的长度，我们就能够准确知道，这条连线在三个板子上所通过的孔的位置。

如果增加一块板子，它就必然多一个维度，所以就有了四维空间。

同样的，增加到10块，它就是十维空间。由于我们必然可以从线段的长度，判断它在每一个板子上的孔的位置，所以多维度也是可以计算的。只是这个计算将非常繁琐。