高数不定积分公式都是由简入繁的，我们先来看一个比较简单的

老黄终于推导完成一整套关于“余弦正弦幂积的不定积分公式”。马上又要开始另一套公式的推导了，那是关于“指数函数乘三角函数幂的不定积分公式”。这套公式可能要比上一套更复杂。不过高数不定积分的公式都是由简入繁的。老黄这里先给大家介绍一个最简单的。

这套公式目前看来，基本有如下的步骤：

(1)推导In=∫e^(ax)*(sinbx)^ndx的递推公式；

(2)利用(1)推导In=∫e^x*(sinx)^ndx (n∈N*)的不定积分公式；

(3)将公式拓展到(1)的不定积分公式；

(4)将公式从正弦拓展到余弦；

(5)将公式从正弦和余弦拓展到正割和余割.

其中第(1)步是基础，本来由第(1)步可以直接进入第(3)步。但是那样太复杂了。因此先求第(3)步的一个特例，就是当a=b=1时的公式(2)。这篇文章就要解决第(1)(2)步。虽然只有两步，但知识是具有独立性和完整性的。并不会因为没有推导出后面三步而显得知识不完整。

具体推导的方法只能用图片的形式展示。

下面先完成探究1：In=∫e^(ax)*(sinbx)^ndx的递推公式.

其推导过程主要运用了凑微分和分部积分法。多次重复利用e^(ax)dx=de^(ax)/a，以及三角函数的导数公式、积的求导法则和复合函数的求导法则。

可以利用这个递推公式解决例1：求∫e^(3x)*(sinx)^2dx.

后面有一个问题：如果正弦的指数很大，那该怎么办呢？自然就要探究(3)才行了。由于(3)的公式太麻烦，所以先探究它的特例(a=b=1)，也就是先完成(2)的探究。

探究2：In=∫e^x*(sinx)^ndx (n∈N*)的不定积分公式.

探究2重复运用了探究1的递推公式的特例。其中除了求和公式，还有求积公式，总结起来非常麻烦，烧脑。它的原理是通过对正弦降幂，一直降到零次幂，就可以得到关于e^x的不定积分的式子，问题自然就解决了。

上图仅探究了n是偶数的情况。先看一道这方面的例2：求∫e^x*(sinx)^6dx.

那么当n是奇数时，又会怎么样呢？当n是偶数时，通过降幂，可以将正弦的指数降为0，当n是奇数时，只能降到1次幂，如下图：

因此，我们可以特别地给I1求出来，即求出当n=1时的不定积分公式。如下图：

这样就可以得到n是奇数时的公式，如下图：

接下来看这方面的例3：求∫e^x*(sinx)^5dx.

最后把公式组织如下：

这就是这套公式中最简单的一个，你感觉怎么样？

有兴趣可以关注老黄，看看老黄接下来三步怎么解决。你也可以先于老黄，自己把它们解决了。老黄会为你点赞的。具体后面要怎么推，可能还要有所调整，因为设想和实际操作，往往是会存在差异的。