【银蛇出品】数学漫谈8——玩玩初等函数的Taylor级数和Laurent级数(上)

前置知识：高等数学(一元函数微积分、无穷级数)

        形如

的函数项级数称为x的幂级数，其中x为实数。在一个区间(-R,R)内，幂级数可能收敛到一个连续函数f(x)上，这个R称为幂级数的收敛半径。收敛半径可以用D'Alembert判别法或Cauchy判别法求得。对于f(x)，在相应的收敛区间内，幂级数展开是唯一的。

        幂级数是十分重要的，它为我们研究许多函数的性质，包括众多的非初等函数提供了便利。

        幂级数具有很多优良的性质，可以进行加减乘除、逐项积分、逐项微分运算，除了除法运算可能会使收敛半径变小，其他运算不影响收敛半径。

        Taylor级数则是形如

的幂级数。多数时候，我们关心其收敛到的和函数f(x)在原点处的性质，这时我们令x0=0

得到的级数也称Maclaurin级数。不过为了方便，我们不做严格区分，仍称之为Taylor级数。

        简单回顾了一下要用到的知识，下面我们开始玩Taylor级数。

1.几何级数

提示：对公比介于-1和1之间(当然还要除去0)的等比数列求和公式取项数n趋于无穷时的极限。

        对级数(1)稍作变换，可以得到很多结果：

        用-x代替x得级数(2)

        用x²代替x得级数(3)

        用-x²代替x得级数(4)

        级数(4)很有意思，在级数(1)~(3)中，和函数在x=-1或x=1处存在极点(使分母为0)，从而导致收敛半径R=1。而级数(4)处处无极点，为何收敛半径也为R=1？尽管使用D'Alembert判别法容易求得R=1，但至于背后的原因，我们先留个悬念，后面再说这件事。

2.Newton二项级数

        实际上，Newton对二项式定理进行推广，发现了级数(5)

其中

是组合数的推广。

提示：从Taylor级数的定义公式(3)出发容易证明级数(5)。

        利用级数(5)我们可以写出级数(6)(7)

其中n!!为双阶乘，表示所有小于等于n且奇偶性与n相同的正整数之积。如5!!=1×3×5=15。

提示：2ⁿ·n!=(2n)!!

3.对数级数

提示：对级数(2)逐项积分得对数级数(8)。

4.指数级数

提示：从Taylor级数的定义出发容易证明级数(9)。

        接下来要用到Bernoulli数Bn，它有许多种定义方式，其中一种较为简单、易于手算的定义方式是是利用组合数，写出递推式

并规定当n=0时B0=1，这样由公式(5)可依次算出B1=-1/2，B2=1/6，B3=0，B4=-1/30，B5=0……可以发现，对除n=1外的全部奇数，Bn=0。这个定义方式实际上来源于对自然数幂次求和的问题。(可参见数学漫谈第1期中的数学归纳法，想想这种定义的合理性)

        下面我们证明指数级数(10)[1]，其中涉及到Bernoulli数，并且对后续推导十分有用。

证明 设

        于是有

        逐项对应就有

等价于

        将Bernoulli数的定义公式(5)稍作变形就能得到

        对比得到

指数级数(10)得证。这也是定义Bernoulli数的另一种方法。至于其收敛半径为什么是2π，我们也留到后面去说。

5.三角级数

        从指数级数(9)(10)出发可证明大部分三角级数。

证明 由指数级数(9)可知

        而由欧拉公式

        可知

        于是前述两式做差再除以2i即得级数(11)。

提示：对正弦级数(11)逐项求导得余弦级数(12)。

证明 由指数级数(10)

        用2x替换x得

        我们知道对于Bernoulli数Bn，当n为大于1的奇数时，Bn=0，也就是说等式右侧只有偶数项非0。所以我们用2k替换k得

        用ix替换x得

        又(请观众同学自行证明)

        代入即得余切级数(14)。

        由于(请观众同学自行证明)

        因此

        两侧除以x即得正切级数(13)[2]。

        接下来要用到Euler数En，与Bernoulli数类似，它也有多种定义方式，其中一种易于手算的递推定义方式为

并规定E0=1，其余(也就是n为奇数时)En=0。利用公式(6)可以计算出E2=-1, E4=5, E6=-61……

提示：参考指数级数(10)的证明过程，类似可证正割级数(15)。

提示：利用

结合余切级数(14)可证余割级数(16)。

6.反三角级数

提示：对级数(6)逐项积分可得反正弦级数(17)。

提示：对级数(4)逐项积分可得反正切级数(18)。

        令反正切级数(18)中的x=1就得到了著名的Leibniz级数

        反余弦函数、反余切函数分别与反正弦函数、反正切函数加和得到π/2，因此它们的级数很好表示。至于反正割函数和反余割函数，它们在定义域内没有Taylor级数展开。

7.双曲级数

        (关于双曲函数的定义，可以参考数学漫谈第4期)

提示：根据双曲函数的定义和指数级数(9)可证双曲正弦级数(19)。

提示：对双曲正弦级数(19)逐项求导可得双曲余弦级数(20)。

提示：利用tanh(x)=-itan(ix)结合正切级数(13)可证双曲正切级数(21)。

提示：在证明余切级数(14)时已经证出双曲余切级数(22)。

提示：利用sech(x)=sec(ix)结合正割级数(15)可证双曲正割级数(23)。

提示：利用csch(x)=icsc(ix)结合余割级数(16)可证双曲余割级数(24)。

8.反双曲级数

提示：对级数(7)逐项积分可得反双曲正弦级数(25)。

提示：对级数(3)逐项积分可得反双曲正切级数(26)。

        反双曲余弦函数和反双曲余切函数在定义域内没有Taylor级数展开。至于反双曲正割函数和反双曲余割函数，等后面我们再做讨论。

 

参考资料

[1] (德)E. Zeidler等著. 数学指南——实用数学手册[M]. 李文林等译. 北京: 科学出版社, 2012

[2] 罗严塔尔. tan x的麦克劳林公式系数和伯努利数的关系是怎么得到的？ - 的回答[EB/OL]. https://www.zhihu.com/answer/913175006, 2019-11-27/2020-03-28