Strongart教授：层论不属于代数几何

   最近十几年，数学科普家都在热推代数几何，一提到代数几何的内容，就难免会提到各种各样的层（sheaf），但严格说层论并不属于代数几何，可以作为拓扑与范畴的延伸理论。

  层论对于代数几何而言，主要是一个数学工具，可以用来算上同调之类的，这正如拓扑学对于分析而言是一个工具，这并不意味着拓扑学就是分析学的分支。实际上，层论除了代数几何而言，至少还在代数拓扑（反常层），D-模理论、代数分析（微局部分析）等领域中起到关键的工具性作用。

  有些人可能是看到什么就以为是什么，比如有人要问我实变函数的问题，结果却问了一个集合基数的问题，因为有的实变函数书就是以集合论作为开篇的，正如有些代数几何的教材会以层论开篇。更有甚者，看到给小学生做一个立方体的智力题，就上纲上线说是立体几何，然后就变成拿高中数学去刁难小学生了。

  层论除了作为工具之外，还有自身的发展逻辑。事实上，层论大致有下面三个层次：

  1）应用层论：一般是概型上自带的环层结构，主要就是计算层的上同调，不讨论层的内部结构细节。

  2）通用层论：在拓扑空间上定义的抽象层，主要就是研究层自身的结构，也包括层与其态射之间的关系，比如Grothendieck六算子，并用来处理代数拓扑等方面的问题。

  3）专用层论：在范畴上定义的Grothendieck层，主要是层的拓扑斯理论（topos theory），乃至于一般意义上的拓扑斯理论。

  还有一些人把层论看做代数几何，可能是受到Grothendieck的影响。作为传奇性的伟大数学家，Grothendieck开创了现代的代数几何理论，他的工作贯穿了层的三个层次，于是有人把这三个层论都当成了代数几何，这在理论上是牵强的。

  应用层论对于代数几何，就相当于点集拓扑对于数学分析。如果把应用层论作为代数几何，就相当于把点集拓扑归为数学分析；如果把通用层论归为代数几何，就相当于把代数拓扑也归为数学分析；如果把专用层论归为代数几何，就相当于把同调代数与范畴论都归为数学分析。

  总而言之，应用层论勉强可以作为代数几何的工具，但这个工具并不是专门的，通用层论适合作为拓扑学的延伸，最后也会反作用于代数拓扑，而专用层论则是更多的与范畴和逻辑相结合，变成了数学基础的重要领域。

  扩展阅读：

  【1】Hartshorne R. Algebraic geometry[M]. Springer Science & Business Media, 2013. （代数几何的高级参考书，自带应用层论的部分）

  【2】Bredon G E. Sheaf theory[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （拓扑空间上的层论参考书，属于通用层论的范畴）

  【3】Johnstone P T. Topos theory[M]. Courier Corporation, 2014. （拓扑斯理论的经典参考书，属于专用层论的范畴）