2023数分Day84(曲线积分2：格林公式及曲线积分与路线的无关性)

一、整体感受

这几道题都有比较强的计算技巧及相关积分公式的记忆。但相对来说还是简单的。

题1涉及到含e^x和sinx的重要积分结论。（复习day74小结论1）

题2涉及到求偏导，要看清楚是关于谁求的偏导。

题3要计算Jacobi行列式，注意不要漏掉。而且最后被积函数是一个一阶导数，这个不要搞错。

题4这道中科大的题目，算了很久Py和Qx，就是比较简单的求偏导也出现计算速度上的差距，这说明之前对求偏导训练上的不足，后期要加强！（这里可以拆成几项分别求偏导效果可能会好一些）

二、 本节需要掌握的相关定理及公式

1、对Green公式的理解以及计算公式的再熟悉

（要在封闭曲线上才能用Green公式）

2、曲线积分与路线的无关性定理及应用

（1）曲线积分与路线的无关性的重要定理（4个等价条件）

（2）该定理在本节题目中应用

题2：可应用条件4（验证Qx=Py）

以及条件3(验证全微分du=uxdx+uydy=Pdx+Qdy)两种方法；

题4：在计算一段封闭区间时使用，这一段积分由于满足条件3的Qx=Py，所以可以推出条件1：这段积分值为0，用以简化计算。

三、具体题目

1（东北师范，安徽大学）

做法：

①观察被积函数，可能需要运用Green公式；

②再画图，发现区域不封闭，补上一段（这一段恰好y=0，说明dy=0！这是一个重要化简方式，之后常常用到）

③把积分和区域L1（补的直线段）记一下，写出P、Q，算出Qx,Py。而且算出L1上积分为0

④化简积分后，用Green公式转化为D上的二重积分，最后就是算积分，注意要使用到一个含e^x和sinx的重要积分结论。

2（重庆大学）

法1：

第一问用曲线积分与路线的无关性的等价条件4（验证Qx=Py）；

第二问由于与路线无关，所以可以取一段水平、一段垂直，最简单的来做，充分利用题干条件ab=cd即可。（做积分的时候会涉及整体换元，然后区间衔接的情况，要灵活处理）

法2：

第一问：用曲线积分与路线的无关性的等价条件3（验证du=Pdx+Qdy），

关键在如何设这个u(x,y)，是通过观察被积函数有f(xy），所以u(x,y)中有个F（xy）来作为f(xy)的原函数；同时观察到由于被积函数中有1/y,表示关于x求导后有这个，那么原函数应该为x/y，所以取u(x,y)=x/y+F(xy)。

这个取u(x,y)需要很强的观察能力，如果观察不出，用等价条件3最方便。

但是如果用了全微分这个方法之后，第二问就比较简单，直接代入起点和重点，再用一下ab=cd抵消一下，就出来最终结果了。

注意：这两个等价条件（3和4）都可以好好学习一下，理解、体悟使得曲线积分与路线的无关性的条件。

3（武汉大学）

思路：关注到题干中有的两两对称，所以想到用变量变换即可。

做法：

①观察被积函数，由于要用Green公式，需要Qx和Py，由于这里P=0就不用管了，但是还得验证一下Qx是否关于x有连续偏导数，由于这里y>0，那么被积函数分母不为0，说明是关于x有连续偏导的。

（这一步容易理不清楚逻辑链，好好想想）

②最后做变量变换，记得求出Jacobi行列式，不要漏掉，最后这个积分的被积函数是一个一阶导（导数的’不要写着写着就漏掉了，不然用不了题干条件了），仔细点算积分，不难。

4（中国科学院大学）

我觉得是比较考验理解能力的一道题，处理过程也比较有技巧性，很综合。

法一：

①首先要画图，观察到（1/2，0）可能是瑕点，需要去掉。

②写出P,Q，验证Qx=Py(这一步需要好好算，好好锻炼计算偏导数的能力）

③补全区域，记L1，算L1积分会利用到对称区间的奇偶性；再取L2：以瑕点位圆心的一个圆，半径为ε。

④计算I,I为（L1+L2）-L2-L1上的积分

这里L1+L2上是为了利用Green公式，把瑕点补充上可以利用曲线积分与路线的无关性的等价条件4：Qx=Py→等价条件1：这段光滑封闭曲线的积分值为0，化简计算。

减去L2是因为这一段本来就是瑕点，应该减去

减去L1是因为这一段是自己补上的直线段，应该删掉。

法二：前2步同法一，第三步就是取L'，写出圆的参数方程来求，利用θ角的范围在[arctan2-π，π-arctan2]，算一下积分即可。

说明：这里θ角是以(1/2,0)为圆心，半径为√5/2的圆，算的(0,-1)处的角度和(0,1)处的角度。这样取可以经过（0，1）和（0，-1）点

注：要会设圆的参数方程

圆的方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;

则圆的参数方程为x=a+rcosθ；y=b+rsinθ.

本题a=1/2,b=0,r=√5/2