很水的数学分析001：无理数的历史

1.我们可以用自然数为原料，将所有的整数都制造出来。再用整数做原料，将所有有理数制造出来。

但是虽然√2可证明是无理数，但无法通过构造开根号的方法制造所有无理数。本质上开根号只是求代数方程的根，这只占无理数的极小部分，称为“代数数”。

比如圆周率Π就不能通过求代数方程的根求解出来。这类数称为“超越数”。

2.构造无理数需要“无限过程”，以制造超越数。如使用无穷级数、连分数、序列、闭区间套(无限小数)、戴德金分割等。

3.定义实数

构造的目标：

①构造出所有无理数

②有全序关系（序关系凸显分析学的核心）

③定义代数运算：加、减、乘、除

④拓扑结构

4.戴德金分割

分析数轴上某代数方程的某一个正根的位置(如√2) 和 由根分割出的前后两个区间，可证明前面的区间没有最大元素，后面的区间没有最小元素。并且戴德金用算数化的语言描述了没有最大(小)元素，即对于任意一区间内元素，总可以找出另一个元素比它大(小)。

因此有理数域虽然稠密，但依然存在”空隙“，需要定义更大的数集来填满这些空隙。

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戴德金分割【详见讲义中算术化语言的描述】：

对集合做一个划分，切成两个非空集合{α,β}。

首先，α向下封闭。

其次，α中无最大元素，

则称：该划分，确定了该集合上的一个戴德金分割。

集合若是有理数集，那么这样的一个分割决定了一个实数。

我们常用下集α来谈论分割，因此可以说一个集合（即下集α），决定了一个实数。

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有理数域上，所有的戴德金分割的下集组成的集合称为实数集。

在戴德金分割中，下集α没有最大元素这一条件隐含了”无限过程“，整个下集本身就是一个无限逼近我们想要的数的过程。因此可用来构造实数。

5.实数集的序结构

戴德金分割构造了实数，接下来需要定义序关系。

由于一个集合决定一个实数，集合的包含关系自然是一种序关系。

序关系中，我们可以用包含来定义小于等于。

并且可以证明，因为α是一个下集，所以这样的包含关系一定是全序关系。因此，由此定义出来的实数集一定是全序集。

6.实数集上的运算

加法：

由于当前实数是由集合定义的，本身没有集合加集合这样的运算。

我们可以任取两个集合中的元素，这两个元素相加（这两个元素应位于有理数域），其相加结果的值构成的新集合，这就是加法运算。