在弹性力学中，应变是一个非常重要的几何概念，我们通过胡克定律可以直接将其与应力建立联系，从而发展连续介质的弹性理论。而一般弹性力学是建立在三维欧氏空间中的，因此这种应变也是欧氏空间中的几何概念，自然我们希望能将其推广到一般的流形上去。这里介绍在广义相对论背景下的应变。

参考资料：《张量分析与弹性力学》- 申文斌，张朝玉

《The large scale structure of space-time》- Stephen Hawking, George Ellis

*注：此处不涉及Fermi导数的概念，只需要了解基本的张量分析和黎曼几何即可。

一：引入 Introduction

在四维时空中，取一个向量场，它给出了一个全等测地线集，称为Congurence of geodesics，这些测地线的切矢场均为，仿射参数为间隔。从物理角度，测地线是在引力场中做自由运动的粒子的世界线，因此这些测地线给出的四维速度也均为，在局部标架下分量记为。

同时，这些测地线可以用一个连续参数来区分，因此生成了一个单参变化群，它对应了一个向量场，具体参数值由其积分曲线与测地线的交点确定。

利用Levi-Civita联络，在局部标架下可以得到著名的Jacobi方程或测地偏离方程：

，其中是沿测地线的二阶协变导数，为黎曼曲率张量。

并且由定义，向量场在向量场的单参变化群下保持不变，也就是，利用无挠性定义得，在局部标架下为无挠性方程 ：。

现在考虑单个自由粒子在测地线集中的状态。从曲线系的角度出发，在时空中的每一点，该粒子所观察到周围的测地线都是不同的，时而远离时而扭曲，这些都可以反映到向量场在各点的值上。而且很容易观察到，沿着测地线切矢，也就是在速度的方向，是观察不到这些变化的，因为向量场在向量场上同样是不变的。

因此，总结可知，向量场的变化发生在垂直于四维速度的超曲面上。由此可以选择这样的一个四维正交标架，以为其中一个基，和超曲面的交点处的，垂直于的三个基为初始基向量，以它们沿曲线的平移为另三个基，记作，称为无自转参考系。由度规的平行性易知，满足正交要求，是一个正交子空间。于是，向量场在垂直面上的分量为，通过上文可见其分量会发生变化，满足无挠性方程。下文中以代表垂直分量，代表四维分量。

根据Cauchy-Lipchitz定理，这样的一阶系统在确定初始条件后存在唯一解，写作，其中是一个3x3的单位矩阵满足方程。

可见向量场的变化完全被矢量的变化控制，解出这个量就等于解出了相应的变化。

二：三维欧氏空间分析 Analysis in 3D Euclidien Space

现在我们从弹性力学中应变(strain)的角度来分析一下三维欧氏空间中的表达式。

首先在三维欧氏空间中，联络系数为0，则，并且不区分逆/协变指标，但哑标体系和爱因斯坦求和约定依旧成立。

其次，我们将位移矢量记为，这里仅代表位置的移动，并不表示速度。当然也可以表示速度，这样能更好的适配流体力学中的粘性力项。

最后，三维欧氏空间下的坐标系记为。

现取欧氏空间中的体积微元，在平面上，称沿轴方向的应变为线应变/正应变，记为，称角度变化的应变为角应变/剪应变，记为，则对形变量近似到一阶有：

，具体计算可查看参考资料。

引入应变张量(strain tensor)：，

容易证明在欧式空间下这是一个对称的双线性型，同时称这六个独立分量与三个位移量的关系方程为Cauchy方程。

同时，在应变前后体积也会发生变化，算上所有的线应变和角应变，展开到一阶后可以得到体积膨胀系数/体积应变：，可以看到它是应变张量的迹，因此是一个应变不变量。具体计算是以混合积表示体积展开即可。

对于一个对称双线性型，从矩阵的角度可以表示为有迹与无迹部分之和，以张量实体表示为，其中称为偏斜张量/应变偏量，是应变张量的无迹部分，其分量形式为。

最后，考虑到在欧氏空间下偏导数是一个二阶张量的分量，应变张量是其对称部分，定义其反对称部分为转动张量，于是根据二阶张量分解定理有。

还可定义相应的角速度，为转动张量的对偶矢量，星号为Hodge星算子。

至此三维欧氏空间中的位移变化就解完了，其余内容在书中都有介绍，这里就不写了。

三：四维广义黎曼流形分析 Analysis in 4D Riemannian Manifold

现在考虑引力场下的情形，我们将二中的内容推广至任意广义黎曼流形上。

首先，在弯曲时空中联络系数不为0，因此偏导数不再代表一个二阶张量，同时逆/协变指标也需要认真的区分。

其次，根据一中的四维正交标架，这里我们主要研究在子空间上的分量变化，而其上的度规是对应的超曲面上的诱导度规，因此下文中均默认使用诱导度规做英文字母指标的升降。

最后，对二阶张量的张量指标简化记号，以圆括号表示对称化：，以对易子表示反对称化：。

引入投影映射张量，其中是超曲面的单位法向量，利用该张量，垂直部分可以写作，这里本质上是施密特正交化定理，是考虑到超曲面的性质，类时取正号。考虑到在标架内的指标只可以是0，因此上述投影只是将四维指标换为三维值。

由二中的名称和定义，给出在流形中的情形：

应变张量 Expansion Tensor ：; 

转动张量 Vorticity Tensor ：，角速度;

体积系数 Volume expansion ：;

偏斜张量 Shear Tensor ：。

于是在测地线下可得到。

若定义测地线簇之间的相对速度为，则根据无挠性方程易知。

现在考虑这三项的物理意义，我们记为上的单位向量，则：

，说明此时测地线上各点的相对速度在相对间隔上的投影为一个定值，且无其他分量，代表了体积的膨胀效应；

，说明此时测地线上各点的相对速度与相对间隔垂直，根据圆周运动模型，此时代表了旋转效应；

，说明此时测地线上各点的相对速度在相对间隔上的投影分量不唯一，但保持体积不变，代表了剪切效应。

或者也可以取法坐标系，或者测地坐标系，结合二中的内容也能得出一样的结论。

四：进一步的计算 Further Calculation

现在我们来考虑用来表示上述的所有张量，记号依旧不变，记的逆为。

应变张量 Expansion Tensor ：; 

转动张量 Vorticity Tensor ：;

体积系数 Volume expansion ：。

偏斜张量 Shear Tensor ：。

利用Jacobi方程可以求出，同时由这个方程做进一步的变化可以得到在测地线下的情况：

 ;  ; 

以及Raychaudhuri-Landau方程，其中。

于是在知道了曲率张量之后，我们就可以通过上述方程计算具体张量在场中的传播速度，这对与研究引力波对时空的扰动效应由重要的启示。

最后提一下，这里的内容对于理想牛顿粘性流体也一样有效，考虑到平面牛顿粘性力方程，这里切应力与速度的梯度有关，在三维中是，

自然会想到，对于引力场中的粘性流体，其粘性张量项自然为。并且，对于速度梯度的分解也和流体力学中关于流场旋度的描述一致，是微分几何在流体力学中的应用的另一个有力的证明。

此处我们完全是从测地线的角度出发的，对于任意的积分曲线簇，还应加上对应的加速度项，即，这样就可以得到Jacobi方程，以及各张量的传播速度了。