初中48个几何模型（13-18）

模型十三  倍长中线

 

[结论]如图、AD是△ABC的中线，延长AD至点A',使得DA'=AD，连接CA'，则AB=A'C,AB∥A'C

拓展    中线题作辅助线

 △ABC中,AD是BC边上的中线。

  【作法1】延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.

  【作法2】作CF⊥AD于点F,作BE⊥AD交AD的延长线于点E.

  【作法3】点M（不与A,B重合）是AB上一点,连接MD并延长至点N,使DN=MD,连接CN.

模型十四  平行线中点（沙漏模型）

 

[结论]如图所示,AB∥DE,C是BD的中点,延长AC交DE于点E,则△ABC≌△EDC.

 

 

口诀：有中点、有平行,轻轻延长就能行！

 

模型十五  雨伞模型（风筝模型）

 

[结论]如图,AP是∠BAC的平分线,BO⊥AP,垂足为O,延长BO交AC于点D,则△ABO≌△ADO

口诀：角平分线+垂线，轻轻延长等腰现

辅助线典例

【1】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠ACB的角平分线CD交AB于点E,∠BDC=90°.求证：CE=2BD

【2】如图,△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D

求证：∠2=∠1+∠C

模型十六  半角模型

 

[结论]（正方形中的半角模型）如图,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,则

(1)MN=AM+DN

(2)△MCN的周长等于正方形ABCD边长的2倍

(3)MA是∠BMN的角平分线,NA是∠DNM的平分线

辅助线典例    其他图形中的半角模型

 

【1.等腰三角形中的半角模型】

 

如图，△ABC是边长为a的等边三角形,△BCD是等腰三角形,且∠BDC=12°,以D为顶点作一个60°的角,使其两边分别交AB于点M，交，AC于点N,连接MN,则

(1)MN=BM+CN

(2)△MAN的周长等于△ABC边长的2倍

(3)MD是∠BMN的平分线,ND是∠CNM的平分线

【2.对角互补且一组邻边相等的半角模型】

 

如图，在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,∠BAD=2∠EAF,AB=AD,则

(1)EF=BE+FD

(2)EA是∠BEF的平分线,FA是∠DFE的平分线

半角模型技巧：

1.找顶点（某角为大角的一般共顶点）

2.作辅助线（延长使=半角另一侧，三角形顶角的对边）

3.证小△全等

4.证大△全等

5.找全等△关系

 

模型十七 胖瘦模型

 

[模型]如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点P在线段BC上且P不是BC的中点

[变胖]如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,△ABQ≌△ACP（SAS),AP=AQ

[变瘦]如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,△ABQ≌△ACP（SAS),AP=AQ

关键：找到合适的辅助线,让模型变胖或变瘦,构造全等三角形

模型十八 将军饮马 6种题型（求最短路线问题）

 

 

[题型1]如图,定点A,B分布在定直线l的两侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB的值最小

[题型2]如图,定点A,B分布在定直线l的同侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB的值最小

[题型3]如图,点P为角内一点.在射线l1,l2上分别找点M,N.使得△PMN的周长最小

[题型4]如图,P、Q为角内的两个定点.在射线l1,l2上分别找点M,N.使得四边形PQMN的周长最小

 

[题型5]如图,直线m∥n,A,B分别为m上方和n下方的定点。（直线AB不与m垂直）,在m，n上分别求点M,N.使得MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小.

[题型6]如图,定点A,B分布在直线L的同侧.长度为a（a为定值）的线段MN在L上移动（点M在点N的左边）,在直线L上求亮点M、N.使得MA=a.且AM+MN+NB的值最小.