通过数学模型对五花两仪的阳光问题进行精算
Crescebdo
摘要：
本文以作案老手发布的五花两仪长生存视频为样本，建立了五花两仪阳光变化的多元回归模型。在此基础上，通过计算机模拟出怪规律，对五花两仪的经济可行性进行了精算。
关键词：
五花两仪 经济可行性 无炮阳光
1. 引言：阳光是一个数学问题
在PVZ游戏史上，对于无尽阵型与技术的研究有很多，但对无尽可行性的量化研究还很少。所谓的无尽可行性，包含以下因素：南瓜抗性，小丑抗性，红眼抗性，经济可行性，操作难度，操作容错度等等。这些因素，也许对大部分炮阵而言不足为虑，但对无炮，特别是各类有一定运阵难度的无炮而言，在考量无尽可行性时是不得不纳入考虑范围内的。
若要以科学的方式深究这些问题，首先需要以量化的思维看问题。例如，对于“一个阵型的阳光是否足够？”这样的问题，其答案不应是“够”或“不够”，而应是“在多大程度上足够”。
假设阵容A面对任何出怪组合，阳光都能回升，则A的阳光是100%足够的；反之，若阵容B面对任何出怪组合，阳光都降超过9990，则B的阳光是100%不够的。现实里，大部分无炮都在A与B的中间地带，在一部分出怪组合下阳光升，在一部分出怪组合下阳光降，达成“动态平衡”。然而，若想真正对动态平衡进行论证，模糊的估算公式（如“6花1500”）或带有偶然性的证据（2f表演、100f长生存等）是远远不够的。想要消除偶然性带来的干扰，势必要以某种量化的方式，扩大样本量，进行彻底的精算。
2. 概念
为便于理解，定义以下概念：
经济可行性/动态平衡 ………… 在长期运行的前提下，某一阵型的阳光是否足够
阳光变化 ………… 一次选卡结束时阳光与开始时阳光的差
破阵 ………… 某次选卡开始时的阳光不足以支撑过当前出怪组合
为了科学地评估阵型的经济可行性，现提出以下指标：
1. 阳光期望值 ………… 随机出怪下，阳光变化的平均值
阳光期望值的计算公式是 ∑V(z)/x，其中V(z)是在某种出怪下的阳光变化，x是所有出怪组合的总数。
假设阳光无上下限，考虑运行n次选卡的情况，若n足够大，则n次选卡结束时的阳光变化将趋近于期望值。由此可得，若某阵阳光期望值为正，则在阳光无上下限的条件下必然能达成动态平衡；反之，若阳光期望值为负，必然会破阵。
注：实际运阵时，由于9990的阳光上限的存在，阳光会有一定损耗。同时，一旦阳光跌破0，就将宣告破阵。故，负期望的阵必然会破阵，正期望的阵则无法判断。
2. 百f破阵率 ………… 以9990阳光起手，在100f内破阵的概率
9990起手代表了开局完成后的最一般情况。
对于破阵率，本文使用的解释标准如下，供参考：
99%~100% ………… 极大概率不可无尽
95%~99% ………… 大概率不可无尽
5%~95% ………… 无法判断（其中，50%以上为无法判断，但偏向不可无尽；50%以下为无法判断，但偏向可无尽）
1%~5% ………… 大概率可无尽
0%~1% ………… 极大概率可无尽
3. 千f破阵率 ………… 以9990阳光起手，在1000f内破阵的概率
4. 万f破阵率 ………… 以9990阳光起手，在10000f内破阵的概率
解释同上。
3. 出怪模型
基于以上标准，“五花两仪的阳光是否足够？”这一问题，就转化为了如何求出五花两仪的阳光期望值，以及百f破阵率、千f破阵率、万f破阵率。
一个很好的办法是，算出五花两仪面对各类出怪组合的阳光变化，再根据每种出怪组合的出现频率，进行阳光精算。具体地，游戏的出怪机制如下：
令可出怪类型数为 m, 剩余出怪类型数为 n:
普僵/路障/读报/其他僵尸出现的概率分别为 1, 0.8+0.2*n/m, 0.2+0.8*n/m, n/m.
僵尸类型总数为 9/10/11 的概率分别为 n*(n-1)/(m*(m-1)), n*(m-n)*2/(m*(m-1)), (m-n)*(m-n-1)/(m*(m-1)).
六大场地的 m 取值分别为 18/17/20/20/16/16, n 从第九次选卡开始取值为 9.
（引用自植僵工具箱-植僵百科知识，https://pvz.lmintlcx.com/wiki/#%E5%87%BA%E6%80%AA%E8%A7%84%E5%BE%8B，08/21/20）
基于此，可算出各种出怪组合的出现概率。
4. 数据采集
本文使用了作案老手于2020年3月发布的五花两仪不偷菜100f长生存视频（BV1uV411f7bW）作为数据样本，其中共50次选卡，有效选卡45次（排除了阳光到达9990的5次）。遗憾的是，由于无法找到其他视频，样本量受到限制，同时也无法排除老手个人操作水平的因素，数据上仍然具有一定的局限性。若有更多数据，结论将更为精确。
对每次选卡的出怪与阳光情况进行整理后，有以下图表：
样本内各僵尸的出现频率如下：
呈现出橄榄、红眼频率稍低，气球频率稍高的态势。总体上看，分布仍与理论值接近。
5. 阳光多元线性回归模型
将每个僵尸出或者不出用1或0表示，就能以阳光变化为因变量，每个僵尸的出怪情况为自变量建立多元线性回归模型。
要使用多元线性回归，首先对阳光变化进行正态分布检测，结果如下：
得到K-S检验显著性.200，可以认为服从正态分布。
而游戏的出怪机制保证了每个僵尸的出现与否是独立的，故基本无需考虑自变量共线性的问题。
经过筛选，决定以铁桶、橄榄、潜水、气球、白眼、红眼六个对阳光变化影响最大的因素进行多元线性回归，结果如下：
其中，调整后R²为.833，即83%因变量的变化可以由自变量的变化解释，属于很理想的结果。方差检验及各系数的显著性也极高，代表此模型是有统计学意义的。
由此可得，某一次选卡的阳光变化V能由以下公式预测：
V = 2695 - f(铁桶)*608 - f(橄榄)*886 - f(潜水)*580 - f(气球)*582 - f(白眼)*536 - f(红眼)*2785
其中，f(XX)代表某僵尸是否出现，若出现为1，否则为0。
可以从公式中直观地看出，红眼对于阳光变化的负面影响是最大的，与常识相符。同时，在铁桶橄榄潜水气球白眼红眼都没有出现的回复关，公式给出的阳光回复值是2695。
根据此公式计算的阳光变化预估值与实际值的对比如下：
可见模型的预测准确度还是较高的。
6. 计算阳光期望值与破阵率
基于上述模型，可以给最初提出的两个问题进行解答。
由于六大僵尸的出现概率都是0.45（见3. 出怪模型），将0.45代入公式中f(XX)的部分即可算出期望值。求得的五花两仪的阳光变化期望值是6，即平均每次选卡阳光涨6。由于阳光上限的存在，运阵过程中必然会有一部分阳光损耗，而6的期望值似乎是难以弥补的。不过考虑到模型的局限性，期望值并非绝对精确，故此处的初步结论是无法判断，但偏向不可无尽。
接下来，通过计算机模拟出怪，即可算出百f、千f、万f的破阵率。实际结果如下：
对于以上数据的解释：
百f破阵率为52%，解释为无法判断能否无尽，但偏向无法无尽；
千f、万f破阵率均为100%，解释为极大概率无法无尽。
显然地，千f与万f破阵率更具可靠性。故基于此研究结果，判断五花两仪不偷花极大概率无法达成动态平衡，即不可无尽。
若起手阳光并非9990，则百f破阵率如下：
由图可知，0阳光起手的百f破阵率高达90%余，而满阳光起手的百f破阵率也高于50%。这再次指向了五花两仪无法无尽的结论。
7. 评估与展望
本文所使用的模型的优点是通过统计学计算与计算机大量模拟，成功地将量化分析引入了PVZ无尽可行性论证的一部分，数据与结论具有客观性、透明性、清晰性，同时保证可再现，分析过程中尽量排除了偶然性或人为因素导致的偏差。
然而，苦于样本的缺少，所得出的结论仅能代表作案老手的个人游戏水平，无法排除个人因素以及长生存视频本身的偶然性。若有更大的样本量，结论将会更为精确。
同时，为计算方便，出怪被设定为了阳光变化的唯一影响因素。实际上，可能有其它的因素并未被纳入考量范围之内，比如操作者集中力、当前阳光状况、是否临时搭梯、僵尸密度等等。若未来有模型加上这些因素，结论将会更有说服力。
另外，对于六种威胁僵尸的选择，尽管已极力避免，但仍有一定的主观性。铁桶、潜水被纳入威胁，主要源于其对水路南瓜的损耗，而冰车则因其不具有统计显著性的影响被剔除。在自变量的选择上，是存有一定的讨论余地的。
最后，尽管无法确定其影响，但不同僵尸之间的特殊组合可能也会左右阳光变化。例如，当红眼与气球同出时，由于三叶草占一卡槽，不得不以一垫而非两垫战红眼。尽管老手在演示视频中几乎从不以三叶草垫红眼，但一垫与两垫的区别对阳光也许是有影响的。同理，冰车与红眼同出时，冰道阻碍樱桃的放置，可能也会带来更大的阳光压力。
8. 附录
A. 样本数据
鸣谢作案老手在两仪方面上的大量实战工作。
本文使用的数据如下：
链接: https://pan.baidu.com/s/1SJpRYSvidatAn-2DRc7vpQ 提取码: xhdu
B. 破阵率计算源代码
使用golang编写。每种破阵率各模拟了10000遍。源码：https://pastebin.com/mHA6JdAz
C. 其他工具
使用了SPSS、GraphPad Prism、Excel等工具进行统计分析与绘图。
