第二届青天杯选择题解析

1.a₂a₉＝c/a＝2(韦达定理)，a₂a₉＝a₅a₆(下标和)＝2 选C 2.1/a＞3⇔0＜a＜1/3 选B 3.即点到(3，0)，(-3，0)的距离之和为10，则轨迹为椭圆 a＝5，c＝3→b＝4，则S＝abπ＝20π 选C 4.原式⇔MB+MC+MA+CA＝AC⇔MB+2MA＝AC ⇔MA+AB+2MA＝AC⇔3MA＝BC 得到平行关系后根据相似得到面积比为1:3，所以面积为1/3 选B 5.AB＝2，∠AOB＝90°→AB中点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆 由极化恒等式∶PA·PB＝＝PM²-1/4AB²，PMmin＝4 所以最小值为15 选A 6.根据几何关系得到半径R的通项 Rn＝(√2/2)ⁿ⁻¹→Sn＝π(1/2)ⁿ⁻¹ 求和后∶∑sn＝2π[1-(1/2)ⁿ]，当n→+∞时，∑sn→2π 选D 7. 8.g(x)＝cosx+tx，g'(x)＝-sinx+t g(x)有两个极值点⇔g'(x)＝0有两个交点 得到x₁+x₂＝π 2g(x₁)-g(x₂)＝2cosx₁+2tx₁-cosx₂-tx₂ ⇔h(x)＝3cosx+3tx-πt (x∈[0，π/2]) 主元法h'(t)＝3x-π，当x＝π/3时，有最小值 代入得到最小值为3/2 选D 9.法1∶三个未知数应有三个方程，排除AB 选CD 法2∶复数范围内有解，则实数范围内无解 方程可看做平面与球的交点，计算得到平面与球恰好相切 则AB有唯一解，CD无解 选CD 10.0＜e＜1，AB排除，选CD(C选项存疑) 11.这是2022年非数组大学生竞赛题，这里给出标准解答 (本题解题关键在于向量共线和不等式的处理)

12.由于x.y.z∈R，所以点在x+y+z-1的平面上运动不受任何限制，二次曲面也不受任何限制，所以可以取大于零的任何值 选ABCD