什么是正方形？它是一种有四条等长的直边和四个90度角的形状。

90度和四条直边似乎是一起的。不可能画一个全是90度角的三角形。同样，也不可能画出一个五边形、六边形或有更多直角的形状，而这些形状都有90度角。

真的是这样吗？

我们在学校里通常做几何的二维平面被称为欧几里得平面。的确，在这个平面上，任何封闭的、边长相同的、内角都是直角的图形都必须有四条边，它必须是一个正方形。然而，有不同类型的表面可以用曲率的概念来描述。如果您改变了平面的曲率会怎样？形状的边数会不会改变？

曲率有多大？

您可以用高斯曲率的概念（以数学家卡尔-弗里德里希-高斯的名字命名）来衡量一个曲面在某一点上的弯曲程度。我们区分三种类型的曲面：每一点的高斯曲率为零，每一点的高斯曲率为正，以及每一点的高斯曲率为负。

欧几里得平面在每一点上的恒定曲率为零，正如您可能期望的那样：平面不是弯曲的，所以它应该有零曲率。球体在每一点上都有正的高斯曲率。直观地说，这是因为它在所有方向上都 "向外弯曲"。如果您在球体上的任何一点坐下来，您会看到球体在所有方向上向下弯曲，远离您的底部。

如果您坐在一个点上，例如图中的红色点，然后向下看，您会看到球体在所有方向上向下弯曲。从技术上讲，图中的两条黑线给出了球体在该点的主曲率，在这种情况下都是正的。高斯曲率是主曲率的乘积，在这种情况下也是正的。

如果您把自己坐在一个马鞍的形状上，就像您在一匹马上一样，会发生非常不同的事情。如果您看下您的腿，您会看到表面向下弯曲，远离您的屁股。但如果您从您的正前方或正后方往下看，您会看到表面向您的头部上方弯曲。这种 "相反的弯曲"，从直觉上来说，就是负曲率的特征。

如果您在红点处坐下来，向下着您的腿看，您会看到表面向下弯曲。如果您从正前方或正后方看下去，您会看到表面向上弯曲。从技术上讲，图中的两条黑线给出了该点上马鞍的主曲率。在这种情况下，一个主曲率是正的，另一个是负的。高斯曲率是主曲率的乘积，在这种情况下是负的。

一般来说，高斯曲率在一个表面的不同点可以有不同的值。事实上，上面的马鞍就是这种情况。球体的特殊之处在于，高斯曲率的值在所有的点上都是一样的：它有恒定的正曲率。另一个具有恒定高斯曲率的曲面的例子是伪球体，如下图所示。在这种情况下，曲率是负的。

一个伪球面，它具有恒定的负曲率。实际上，伪球面在垂直方向上是无限延伸。
（注：伪球面是双曲几何的一个局部模型。）

球体上的形状

那么，在这些表面上，具有直边和90度角的形状可以有多少个面呢？

让我们从一个球体开始，想象它有一个赤道和一个北极，就像地球一样。从赤道上的一个点开始，沿着一条经线一直到北极（这样的线总是与赤道形成90度角）。现在找到另一条经线，与您刚刚走过的那条经线成90度角，然后沿着这条新的经线走，直到您再次遇到赤道。现在沿着赤道走，直到您到达您的起点。

您所走过的线都是球体上大圆的一部分，也就是说，直径与球体本身相同的圆。每条线都对应着一个大圆的四分之一，所以它们都有相同的长度。球体上的大圆是平面上直线的类似物。这是因为，就像平面上两点之间的最短距离是沿着直线，所以球体上两点之间的最短距离是沿着大圆。
(注：表面上的最短距离的线被称为测地线)

我们在这里创造的是一个直角形状，它的边都有相同的长度，并以90度角相交，而且它有三条边，而不是四条！这也说明了，我们在这里创造的是一个直角形状。这也说明，在一个具有正曲率的形状上绘制的三角形的角度加起来超过180度（在平面上是这样的）。在我们的例子中，它们加起来是90+90+90=270度。

在球体上，我们甚至可以画一个两面的形状，其边长相同，并以90度角相交。一边是半个大圆，另一边是与原大圆成直角的大圆的一半。这样的形状被称为二角形。

伪球面上的形状

所以，我们刚刚看到，在球体（具有正曲率）上，我们可以画出一个具有90度角、所有边都相同长度的形状，其边数少于四边。而事实证明，在伪球面（具有负曲率）上，我们可以画出这样一个有四条以上边的形状。下面是一个有五条边的例子。

我们在这里只展示了伪球面的顶部部分，因为它足以说明问题。图片取自Numberphile视频五边形，本文就是基于此视频而写的。

这里的角度看起来比90度小，但这是由负曲率造成的错觉。以类似的方式，球体的正曲率使我们上面看到的三角形中的90度角看起来比90度大。

虽然五边形的边在我们看来是弯曲的，但从它们是测地线段的意义上来说，它们是直的：伪球面上的最短距离线。而且，事实证明，它们都是相同的长度。

因此，如果您认为90度角和相同长度的直边定义了一个正方形，那么再想想。这完全取决于曲率!

您能画出六边形、七边形、八边形甚至更多边形的这样的形状吗？我们把这个问题留给您自己去发现。

原作者：Hannah Darken

翻译：MathVoice

审校：MathVoice