复习笔记Day113：概率论知识总结(五)

2023-03-04 22:54 作者:间宫_卓司 0人读过 | 我要投稿

虽然本来不打算看第七章的，但今天早上翻了一下课本，发现有的内容我还是感兴趣的，所以选着看一些

第七章随机序列的收敛

§7.5 依分布收敛

定义7.5.1 (1)设 $F_n$ 是 $%5Cmathbf%7BR%7D$ 上的分布函数。称 $%5Cleft%5C%7B%20F_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 弱收敛，如果存在一个递增右连续的函数 $F$ ，使得对任何 $F$ 的连续点 $x$ ，有 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_n%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3DF%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ ，记为 $F_n%5Cxrightarrow%7Bw%7DF$ ;

(2)如果 $%5Cxi%20_n$ 的分布函数序列 $F_n$ 弱收敛于 $%5Cxi$ 的分布函数 $F$ ，称 $%5Cxi%20_n%5CRightarrow%20%5Cxi%20$ ，这里 $%5Cxi%20_n$ 和 $%5Cxi$ 甚至不需要是一个概率空间上的

$%5Cxi%20_n%5CRightarrow%20%5Cxi%20$ 个人感觉是一个很弱的条件，随机序列 $%5Cxi_n$ 甚至可以不收敛，例如取 $%5Cxi$ 服从标准正态分布， $%5Cxi_n%3D(-1)%5En%5Cxi$ ，那么 $%5Cxi_n$ 和 $%5Cxi$ 分布函数相同

定理7.5.1 设 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20%2C%5Cxi%20$ 是随机变量，分别具有分布函数 $%5Cleft%5C%7B%20F_n%20%5Cright%5C%7D%20%2CF$ 。如果 $%5Cxi%20_n%5Cxrightarrow%7Bp%7D%5Cxi%20$ ，则对 $F$ 的任意连续点 $x$ 有 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_n%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3DF%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$

式中的 $%5Cxrightarrow%7Bp%7D$ 指的是依概率收敛，即 $%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20%5Cxi%20_n-%5Cxi%20%5Cright%7C%5Cge%20%5Cvarepsilon%20%5Cright)%20%2C%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0$

定理7.5.2 ( $%5Ctext%7BSkorohod%7D$ )设 $F_n%2Cn%5Cge1$ ， $F$ 是 $%5Ctextbf%7BR%7D$ 上的分布函数，如果 $F_n%5Cxrightarrow%7Bw%7DF$ ，则存在概率空间 $%5Cleft(%20%5COmega%20%2C%5Cmathscr%7BF%7D%20%2C%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cright)%20$ 与其上的随机变量 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20%2C%5Cxi%20$ 使得

(1) $%5Cxi_n$ 点点收敛于 $%5Cxi$

(2) $F_n$ 与 $F$ 分别是 $%5Cxi_n$ 与 $%5Cxi$ 的分布函数

这个定理的证明思路上和定理 5.1.2的证明有点像，先证明了在连续点处， $F_%7Bn%7D%5E%7B-1%7D$ 点点收敛于 $F$ ，然后再记 $%5Cxi%20_n%3DF_%7Bn%7D%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cright)%201_%7B%5Cleft%5C%7B%20%5Ceta%20%5Cnotin%20D%20%5Cright%5C%7D%7D%2C%5Cxi%20%3DF%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cright)%201_%7B%5Cleft%5C%7B%20%5Ceta%20%5Cnotin%20D%20%5Cright%5C%7D%7D$ ，其中 $%5Ceta$ 服从 $%5B0%2C1%5D$ 上的均匀分布， $1_%7B%5Cleft%5C%7B%20%5Ceta%20%5Cnotin%20D%20%5Cright%5C%7D%7D$ 是 $1_%7B%5Cleft%5C%7B%20x%5Cnotin%20D%20%5Cright%5C%7D%7D%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cright)%20$ 的意思， $D$ 是 $F$ 的不连续点集。那么 $%5Cxi_n$ 逐点收敛于 $%5Cxi$ ，且因为 $D$ 至多可列，所以 $%5Cxi_n%2C%5Cxi$ 的分布函数就是 $F_n%2CF$

定理7.5.3 ( $%5Ctext%7BHelly-Bray%7D$ )设有分布函数 $F_n%2CF$ 。则 $F_n%5Cxrightarrow%7Bw%7DF$ 当且仅当对任何有界连续函数 $f$ ， $%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%7Bf%5Cmathrm%7Bd%7DF_n%7D%5Crightarrow%20%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%7Bf%5Cmathrm%7Bd%7DF%7D$

定理7.5.4 任何分布函数列 $%5Cleft%5C%7B%20F_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 有一个子列 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_n%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ 弱收敛

这个定理的证明看的我有点懵，我按照自己的理解写一下好了

取 $%5Cmathbf%7BR%7D$ 中的一个稠密点集 $D%3D%5C%7Bx_n%3An%5Cge1%5C%7D$ ，那么对于任何给定好的 $n$ ，可以找到点列 $%5Cleft%5C%7B%20F_n%5Cleft(%20x_1%20%5Cright)%20%5Cright%5C%7D%20$ 收敛子列 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%201%20%5Cright)%7D%7D%5Cleft(%20x_1%20%5Cright)%20%5Cright%5C%7D%20$ ，接下来，对于点列 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%201%20%5Cright)%7D%7D%5Cleft(%20x_2%20%5Cright)%20%5Cright%5C%7D%20$ ，又可以找到收敛子列 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%202%20%5Cright)%7D%7D%5Cleft(%20x_2%20%5Cright)%20%5Cright%5C%7D%20$ ，一直这样做下去，就可以找到函数序列 $%5C%7BF_n%5C%7D$ 的一个收敛子列 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cright%5C%7D%20$ ，使得其满足 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%7D%5Cleft(%20x_i%20%5Cright)%20%2Ci%5Cle%20n%5Cright%5C%7D%20$ 收敛，所以记 $k_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%3Dk_n$ 的话，

就有 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_i%20%5Cright)%20%2Cx_i%5Cin%20D%20%5Cright%5C%7D%20$ 收敛

接下来去证明 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_n%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ 确实是弱收敛的，首先记 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_i%20%5Cright)%20%3Dy_i$ ，那么如果弱收敛到的函数就被 $%5C%7By_i%5C%7D$ 所唯一确定了，所以不妨定义

$F%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%09y_i%2Cx_i%5Cin%20D%5C%5C%0A%09%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7Dy_%7Bx_0%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%2Cx%3Dx_0%5Cnotin%20D%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D$

其中 $%5C%7Bx_0(n)%5C%7D%5Csubset%20D$ 且 $x_0%5Cleft(%20n%20%5Cright)%20%5Cdownarrow%20x_0$ ，下面来证明确实有 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%3DF%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20$ ，其中 $x_0$ 是连续点，那么此时 $F_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_%7Bi_m%7D%20%5Cright)%20%5Cle%20F_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%5Cle%20F_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_%7Bj_n%7D%20%5Cright)%20$ ，其中 $x_%7Bn_j%7D%2Cx_%7Bn_i%7D%5Csubset%20D%2Ci%2Cj%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn$ ，令 $n%5Crightarrow%20%5Cinfty%20$ ，可得 $y_%7Bn_j%7D%5Cle%20%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%5Cle%20y_%7Bn_i%7D$ ，这里严格来说要取上下极限，但是我懒得打了。再取 $x_%7Bi_m%7D%5Cuparrow%20x_0%2Cx_%7Bj_n%7D%5Cdownarrow%20x_0$ ，并分别令 $i%2Cj$ 趋于无穷，这就证明了结论