麻雀形状随笔9：对称性（1）
作为随笔性质的文章，本文会写的比较随意或者晦涩，本文主要讨论麻雀中的各种形状的极尽深入，对麻雀技术提升没有太大帮助。适用于任何麻雀。 作者：幾愿
麻雀形状随笔9：对称性（1）
首先给出麻雀基本元素的定义：
（1）顺子：3张数字连续的牌的组合称作顺子，可记作{m，m+1，m+2}。
如：345、567等。765进行重新组合为567，当然是顺子。
（2）刻子：3张数字相同的牌的组合称作刻子，可记作{m，m，m}。
如：222、333等。
（3）对子（雀头）：2张数字相同的牌的组合称作对子，可记作{m，m}。
如：22、33等。
对子也可以视为2张数字相差为0的牌的组合。
（4）两面：2张数字相差为1的牌的组合称作两面，可记作{m，m+1}。
如：23、34等。32进行重新组合为23，当然是两面。
（5）边张：2张数字相差为1的牌的组合，且有一张为1或9，称作边张，是特殊的两面。
如：12、89等。21进行重新组合为12，当然是边张。
（6）嵌张：2张数字相差为2的牌的组合称作嵌张，可记作{m，m+2}。
如：24、35等。42进行重新组合为24，当然是嵌张。
以上元素，包括任意只由数牌构成的麻雀形状，都有一些性质：
（1）重组不变性：任意数牌在手牌的位置发生变化，形状的结构、拆分不变，听牌面、进张面、改良面不变。
这是因为手牌都可以进行整理，在手牌的位置发生变化，不改变每一张牌的种类、数字。混乱的手牌重新整理，是为了方便进行分析结构、拆分、听牌面与进张面，将跳跃拆分尽量减少，转化为连续拆分等。
（2）平移相似性：所有数牌加减同一个整数t，形状的结构、拆分一定程度上不变，听牌面、进张面、改良面也一定程度加减整数t。
注：一定程度是因为数牌的边缘性问题。不考虑数牌的边缘性，可以舍去本词。
如：两面23同时加3，变为56，仍然是两面。听牌面从1、4，变为4、7。
亚两面2344，拆分结构234+4/23+44，同时加3，变为5677，拆分结构567+7/56+77，拆分结构仍然是顺子+单牌/两面+对子的形状。听牌面从1、4，变为4、7。
这是因为当所有数牌都加减同一个数t时，并不会改变基本元素的定义。实际上，亚两面你可以表示为{n，n，n+1，n+2}，n为任意数且n≥1，n+2≤9。
如果牌种类、数目不同的两个形状，结构、拆分一定程度上不变，则称它们为【相似形】，如
称5677是2344的【相似形】。
（3）翻转相似性：所有数牌关于一个数t翻转，即对任意数牌x，数字发生2t-x的变化，则形状的结构、拆分一定程度上不变，听牌面、进张面、改良面也一定程度变为2t-x。
如：亚两面2344关于5翻转为8766（10-2=8，10-3=7，10-4=6），即6678，拆分结构仍然是顺子+单牌/两面+对子的形状，听牌面从1、4变为6、9。
这是因为当所有数牌都关于t翻转时，并不会改变基本元素的定义。因此，6678也是2344的相似形。
由此，亚两面应当表示为{n，n，n±1，n±2}，其中n为任意数并满足每张牌在1-9之间。
然后给出对称的一些定义：
1个顺子：它就像一个长3宽1固定的矩形，有纵向对称轴。故对称。
1个刻子：它就像一个长1宽3固定的矩形，有纵向对称轴。故对称。
（不会考虑横向对称轴，因为那相当于把牌直接切成两半，没有意义）
1个对子、1个两面、1个嵌张、1个边张、1个单张同理，都是对称的。
【中轴数】：对称的麻雀形状，处于纵向对称轴的数称作中轴数。
（《K神传说国标麻将教程》）
【中轴数】不一定是整数。它是整数或者整数+0.5，简记Z和Z+0.5
例如：顺子234的中轴数为3，刻子333的中轴数为3，对子33的中轴数为3，两面34的中轴数为3.5，嵌张35的中轴数为4，边张12的中轴数为1.5等等。
把麻雀形状堆叠起来，既可能是对称的，也可能是不对称的，怎么不破坏对称性呢？
1个顺子：它就像一个长3宽1固定的矩形，有纵向对称轴。故对称。
1个刻子：它就像一个长1宽3固定的矩形，有纵向对称轴。故对称。
（不会考虑横向对称轴，因为那相当于把牌直接切成两半，没有意义）
1个对子、1个两面、1个嵌张、1个边张、1个单张同理，都是对称的。
【中轴数】：对称的麻雀形状，处于纵向对称轴的数称作中轴数。（《K神传说国标麻将教程》）
【中轴数】不一定是整数。它是整数或者整数+0.5，简记Z和Z+0.5
例如：顺子234的中轴数为3，刻子333的中轴数为3，对子33的中轴数为3，两面34的中轴数为3.5，嵌张35的中轴数为4，边张12的中轴数为1.5等等。
把麻雀形状堆叠起来，既可能是对称的，也可能是不对称的，怎么不破坏对称性呢？
[3n]的堆叠
（1）【顺子】的简化：更简单的，直接把顺子考虑成一根【轴】（【中轴数】），那根【轴】的本身就是对称轴。
1个顺子：本身对称。 2个顺子：无论怎么堆叠也对称。
3+个顺子：
偶数个顺子=偶数根轴（2、4个顺子）：有偶数根【轴】在手牌【对称轴】上，或者偶数根【轴】在手牌【对称轴】左右两侧对称分布。
奇数个顺子=奇数根轴（3个顺子）：有奇数根【轴】在手牌【对称轴】上，剩下偶数根【轴】在手牌【对称轴】左右两侧对称分布。
奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数。
对称分布：【对称轴】两侧【轴】个数相等、对应的一对【轴】距离也相等。
（2）【刻子】的简化：更简单的，直接把刻子考虑成一根【轴】（【中轴数】），那根【轴】的本身就是对称轴。
【刻子】并不能堆叠，一种牌只能有一个【刻子】。
1个刻子：本身对称。
偶数个刻子=偶数根轴（2、4个刻子）：偶数根【轴】在手牌【对称轴】左右两侧对称分布。
奇数个顺子=奇数根轴（3个刻子）：1根【轴】在手牌【对称轴】上，剩下偶数根【轴】在手牌【对称轴】左右两侧对称分布。
[3n+1]的堆叠
（1）雀头+顺搭的情况
这个搭子若是【顺搭】：一个听牌形最多一个顺搭，若不破坏手牌的整体对称性，那么有两种情况：
(i)【顺搭】放在【对称轴】上，使搭子的【中轴数】等于手牌的【中轴数】。
雀头=对子，只有一个，必须放在【中轴数】上。
两面、边张的【中轴数】并不是Z，而是Z+0.5，但是雀头的【中轴数】是整数，手牌的【中轴数】不可能既是Z，又是Z+0.5。所以雀头+两面，雀头+边张是不可能使手牌对称的。则对称的手牌你无法拆出（雀头+两面）和（雀头+边张）。
嵌张的【中轴数】是整数，所以可以使手牌对称，如2334=24+33。因此嵌张要夹着【中轴数】。
(ii)【顺搭】不在【对称轴】上，这时只有一种情况，即【两面】+【顺子】连接为【三面】，且中间的牌为【中轴数】，雀头也在中间的牌。
如：3455567=34567+55
注：关于本情况，在对称性（2）会继续讲述。
（2）雀头+对子的情况
这个搭子若是【对子】：组成双碰。
此时对子有两个，要么都在【中轴数】上，形成【手牌杠子】（但此时若听牌则是虚听）；要么在【中轴数】两侧对称的分布。
此时手牌的中轴数可能是Z，也可能Z+0.5。如果2个对子是两奇或者两偶，那么是整数，如果2个对子是一奇一偶，那么是整数+0.5。
（3）单钓的情况
单钓牌只有一张，所以必须在【中轴数】上。也就是说在单钓的情况下一定单钓【中轴数】。
定理16：奇数张对称的形状，中轴数一定为整数K，且中轴数必然有1张或者3张。
证明：设该形状有2n+1张牌，且中轴数为K。若中轴数K一张都没有，由定义则2n+1张牌必然对称分布在K的两侧，因此两侧的牌，数目相等。然而2n+1不整除2，因此矛盾。
中轴数K无论有多少张，都不影响中轴数的变化。设中轴数为K，其他牌为K-x1,K-x2...，x1,x2为正整数，由对称性可知，手牌也必然有K+x,K+x2...
则（K-x1）+（K-x2）+...=（2n+1）K，且满足（K-x1）+（K-x2）+.../（2n+1）=K，中轴数仍然为K。
（2n+1）K不是整数，意味着2n+1张牌总和不是整数，然而麻将中2n+1张牌每张牌都是整数，总和是整数。故矛盾。
设中轴数K有k张牌，k=1，2，3，4，则2n+1-k张牌必然对称分布在K的两侧。（2n+1-k）/2=n+（1-k）/2为整数，因为n是整数，因此（1-k）/2是整数，k=1或3
定理17（和牌翻转对称原理）：若和牌形A发生翻转对称为形状B，则形状B也是和牌形。
证明：以和牌形n,n,n+1,n+2,n+3为例，若关于t翻转对称，则变为（2t-n）（2t-n）（2t-n-1）（2t-n-2）（2t-n-3）。
由形状的翻转相似性，结构、拆分一定程度上不变，雀头仍然是雀头，顺子仍然是顺子，刻子仍然是刻子，故满足和牌形要求。
定理18（听牌镜面对称原理）：若听牌形关于中轴数对称，那么听牌面也一定程度关于中轴数对称。
证明：设形状最小牌为K-y，最大牌为K+y，若形状听牌K-x，不妨将K-x加入成为和牌形。
将和牌形牌关于K翻转对称，即令任意牌发生2K-（K+y）的变化，由和牌翻转对称原理，它是和牌形。
此时K-x变为K+x，去掉K+x后手牌形状与原来相同，因此原听牌形也一定听K+x。
进一步的，听牌镜面对称原理也可以严格写为：若听牌形关于中轴数K对称，则对K、x均为整数，对K-x≥1，若手牌听K-x，只要K+x≤9，那么K+x也是听牌面。对K+x≤9，若手牌听K+x，只要K-x≥1，那么K-x也是听牌面。
未完待续...
