前面推导了笛卡尔坐标系下的拉普拉斯方程解，后面会研究一下这些解的存在性和基本行为（性质）

备注6.2 存在性

方程6.4是十分不精准的，对于m=0和n=0 就仅存在一个系数（ or ）；其他都被舍弃了。对于m=0或n=0，一系列也被舍弃了。

训练6.1：把解重新代入微分方程检查

• 平面行为

拉普拉斯方程的解并不是边值问题的解。这组解知识给出了以基函数表示的位在外部空间的一系列行为或者特性 （It only gives us the behavior of the potential  in outer space in terms of base functions）.对于平面域（horizontal domain）或者说水平域，基函数是正弦和余弦。因此，位势在水平域（水平面）是傅里叶级数。n和m是波数。它们越高，波长越短。

• 垂直行为

垂直方向的基函数被称为上延拓 （upward continuation），因为它们描述了位在垂直方向的行为。它们要么具有衰减(damping)的效果(-z*项)，要么就有增强(amplifying)的效果（z*项 ）。显然，这种效果取决于波数n和m。波数越大，波长越短，这两组效应越强，换而言之，衰减越厉害，增强越厉害。相应的，你可以把向上延拓看作一个低通或者高通滤波

下图为原书关于低通滤波的例子