实变函数漫谈(15)可测函数的收敛性3

如果是几乎处处收敛是不是能推出依测度收敛呢，在测度有限的定义域上是这样的。

其实只需要注意到所有收敛的点都可以写成：

而想要证明的是：,令,

前面的式子就是，再利用公式：下极限的测度小于等于测度的下极限。显然可以改写为等式

考虑到，两边取下极限就得到的上极限为0，考虑到测度的非负性，依测度收敛得证，注意利用减法公式的时候利用了测度有限的定义域这条。