【数学基础43】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
数列lim （1+1/n）^n=e，（1+1/n）^n<e.
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；
性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《解析几何》（吕林根 许子道 编）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
是证明下述命题：若lim（2an-an-1）=0，则lim an=0.
证：
lim（2an-an-1）=0，即对任意ε>0，存在自然数N，当n>N时，|2an-an-1|<ε；
简单的绝对值不等式，|2an|-|an-1|<=|2an-an-1|<ε，即|an|<|an-1|/2+ε/2；
|an|
<|an-1|/2+ε/2
<（|an-2|/2+ε/2）/2+ε/2
=|an-2|/2^2+ε/2^2+ε/2
<……
<|aN|/2^（n-N）+ε/2^（n-N）……+ε/2^2+ε/2
=|aN|/2^（n-N）+（ε/2）[1-（1/2）^（n-N）]/（1-1/2）
=|aN|/2^（n-N）+ε[1-（1/2）^（n-N）]
<|aN|/2^（n-N）+ε；
{|aN|/2^（n-N）}显然是无穷小，存在自然数N'>N，n>N'时，|aN|/2^（n-N）<ε；
由3、4，当n>N'时，|an|<|aN|/2^（n-N）+ε<2ε，即lim an=0.
解析几何——
例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——
证明：（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a.
证：
令c=a'xb'，
（axb）x（a'xb'）
=（axb）xc
=（ac）b-（bc）a
=（ca）b-（cb）a
=（a'，b'，a）b-（a'，b'，b）a.
=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb）x（a'xb'）
=-（a'xb'）x（axb）
=-（a'，a，b）b'+（b'，a，b）a'
=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'，证毕。
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
方阵A如果满足A^2=E，那么称A为对合矩阵。证明：如果A、B都是n级对合矩阵，且|A|+|B|=0，那么A+B、E+AB都不可逆。
证：
因为A为对合矩阵，即A^2=E，则|A^2|=1，|A|=1或-1，同理，|B|=1或-1；
由于|A|+|B|=0，不妨令|A|=1，|B|=-1；
|A+B|=|A||A+B|=|A（A+B）|=|A^2+AB|=|E+AB|，
|A+B|=-|A+B||B|=-|（A+B）B|=-|AB+B^2|=-|AB+E|=-|E+AB|=-|A+B|；
|A+B|=|E+AB|=0，所以A+B、E+AB都不可逆，证毕。
到这里！
