为什么我们称N-S方程为非线性偏微分方程
2.5.3线性和非线性
首先说明什么是线性系统。比如两个同学称体重，两个人的总重量是他们各自体重之和，他们的体重不会相互影响，即整体等于部分之和，这是线性系统的第一个关键特性；线性系统的第二个特性是，原因与结果成正比，想象一下你用脚踢球的情形，我们忽略空气阻力，如果你用F的力来踢球，球运动的直线距离是x，如果你用2F的力来踢球，球运动的直线距离应该是2x。即原因和结果成正比。满足这两个特性（整体等于部分之和，原因和结果成正比）的系统就是线性系统。
然而自然界的很多事情都比踢球复杂得多。当系统的各个部分相互干扰、合作或竞争时，就会发生非线性的相互作用[11]。大部分日常活动都是非线性的，比如你同时听两首最喜欢的歌，你不会得到双倍的快乐。你左眼看英语，右眼看高数，你也不会得到双倍的知识。
非线性让世界变得丰富多彩、美妙而复杂，还常常不可预测，而CFD恰恰是研究非线性。
那么，什么是（非）线性微分方程呢？
简单得说，线性微分方程是指未知函数及其各阶导数都是一次幂，且未知函数及其各阶导数互不掺混的微分方程，否则称其为非线性微分方程。线性微分方程需要满足以下性质：
1. 只能出现自变量、函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；
2. 函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何其他运算（比如乘除、平方、开根号等）；
3. 函数本身跟函数本身，各阶导数本身跟各阶导数本身，都不可以有加减之外的运算；
4. 不允许对函数本身、各阶导数做任何形式的复合运算，例如siny、cosy、tany、lny、y^2、y^3、y^x、e^y。
若一个微分方程不满足上述要求，则是非线性微分方程。
我们举例说明，例如
方程中y、y'、y''、y'''的最高次幂都是1，且没有出现y、y'、y''、y'''（未知函数及其各阶导数）之间的相互掺混（乘除、幂方、开根号等）。虽然函数y和导数y'、y''、y'''、前面出现了x、sin(x)、ln(x)等自变量的复合形式，但都是允许的。所以以上方程都是线性微分方程。
反之：
方程中y、y'、y''、y'''的最高次幂次要么不再都是1，要么出现了y、y'、y''、y'''（未知函数y及其各阶导数）之间的相互掺混（乘除、幂方、开根号等）。所以以上方程都是非线性微分方程。
我们经常说N-S方程是非线性偏微分方程，学完上面的知识，我们自己来判定一下。
方程中出现了自变量x、y、z、t，自变量的个数有4个，所以是偏微分方程。同时方程中出现了函数u与其对应导数
的乘积，比如
函数u和其一阶导数
乘在了一起，所以是非线性。综合起来，就叫作非线性偏微分方程。
