关于覆盖维数的进一步讨论 3

可数和定理   设X是正规空间，n是自然数。若X=F1∪F2∪…F∞，这里Fi是X中的闭集且dimFi≤n（i=1,2,…∞)，则dimX≤n。

引理  设X是正规空间，若对任意的不想交的的闭集对A，B，都存在开集W使得

A⊂W⊂clW⊂X＼B 且 dim bdW ≤ n-1  

则 dimX≤n

引理  设X是正则的Lindelof空间，Β为X的一个基，A和B是X中不想交的两个闭集，则存在开集W和B的可数子族【Bi；i=1,2,…】使得A⊂W⊂clW⊂X＼B且∪bdBi(i=1,2,…∞)⊃bdW。

利用上诉两个引理和可数和定理，并使用数学归纳法，我们立即可得下面的两个定理。

设X是正规空间，则dimX≤IndX。

设X是正则的Lindelof空间，则dimX≤indX

下面给出覆盖维数dimX的另一种形式的等价刻画。

定义    设X是正规空间，A和B是X中不想交的两个闭集，A和B的一个分割L是指L是X中一个闭集且X＼L可表示为两个不想交的开集U和V之并且使得A⊂U，B⊂V。