（四）

今天证明一下昨天最后一个定理。Google scholar yyds！

TH1：A graph G has a two-way infinite Euler trail iff (t1)–(t4)below hold:

(t1)G is connected,E is countable,

(t2)dG(v) is even or infinite for each v′∈V(G).

(t3)G\E′ has at most two infinite components for each finite E′⊂E.

(t4)G\E′ has one infinite component for a finite E′⊂E provided that every degree is even in(V,E′).

这个two-way Euler trail，简明的说，就是把这个图拆成一根线(Euler line)，one-way就意味着这根线有个头。

先证必要性。1，2，3是显然的。对于4，可以找到n，E'⊂En, En = {(xi,xi+1), -n<=i<n}，也就是能把所有子边包括的大图。考察图Gn(Vn,En)，其中Vn={xi,-n<=i<n}，只有xn和x-n是奇度顶点，这就意味着这哥俩连通（握手定理）。这样就满足了t4.

再证充分性。根据t3有两种情况：1个或2个无限连通分量。

Case1：1个无限连通分量：or each finite trail T， the graph G\T has one infinite component.

我们先证明如下引理：对任意v∈V(G) and e∈E(G)，满足以上条件的G中存在回路T such that v∈V(T), e∈E(T) 且G\T也满足这些条件。

证明只需构造出T即可。首先对v和e，记以v开头，e结尾的迹为T',于是G/T'中v,v'为奇度顶点，故同属一个连通分量，另有一条路s使之相连。这样s∪T'是一条回路，记为T''

G/T''中的有限分量是欧拉图。于是记H为T''与这些有限分量的并，H也是欧拉图。T是H的欧拉回路。不难验证T满足要求。

由此，就可以按照一个序列不断分割G。存在序列{vi:i < ω} of vertices and edge-disjoint circuits {Ti:i < ω} in G such that： (a) xi,xi+1∈V(Ti) for i < ω, (b)E(G) =⋃{E(Ti) :i < ω}

Case2：两个无限连通分量。按上面的方法，两个奇度顶点分属两个连通分量，（否则全部连通），就意味着两边分别是无限的，并各含有一个奇度顶点。可以类似的证明两边各自是一个one-way Euler line，也就是x0,...,xn序列。

证毕。