Electromagnetism1
之前先学掉了电动力学，后来发现电磁学还没上过，姑且回来补一下。电磁学往上走的两端，一边是思想层面上的电动力学，另一边是实用层面上的电工学。学电磁学一方面作为电动力学的复习，另一方面也接触一些实用层面上的内容。毕竟电动力学学完发现自己连磁感应强度的单位是什么都不知道...另外关于物理图像也要多做一些思考。
于是乎这篇文章先复习一下（经典）电动力学。在此之前，当然得先复习一下广义相对论。
先说明一下，之后平直时空的度规是(-1,1,1,1)（对应(t,x,y,z)），也就是east coast约定。不采取ict那套约定，那套简直是没事找事。
广义相对论
传统讲狭义相对论的方式从两个基本假设出发搞出各种花样，我觉得很难受。干脆从几何角度看广义相对论是最自然的。
广义相对论的基本图像：时空流形～四维Lorentz流形，曲线～世界线，单位切矢量～4-速度，等等。直观地就可以去想象一张嵌入到三维空间中的二维平面。电磁场就是这个Lorentz流形上的两个场；当然它们并不是好的场，更本质的是电磁张量场。
微分流形就是很多坐标卡覆盖起来的东西。每个坐标卡是与$\mathbb{R}^n$的（微分）同胚，重叠的坐标卡需要$C^\inf$相容性。比如AEF坐标和REF坐标能分别覆盖Schwarzschild解的最大解析延拓的一部分，在重叠的部分相容。我们可以想象一张曲面的坐标化。
流形上最基本的东西就是张量场。古典的extrinsic的微分几何在嵌入的高维空间很直观地定义切平面、切向量以及方向导数、协变导数，现在intrinsic的几何里没法这么干，但是可以类比着定义。
首先是切矢和余切矢。我比较喜欢各自拿两套定义理解。一套是余切矢是切矢到$\mathbb{R}$的线性映射，反之亦然，说的是对偶性。另一套是把切矢按照方向导数的性质（Leibniz律）公理化地定义，余切矢按照下面的方式定义：首先有流形$M$在$p$处的$C^\inf$-函数芽$[f]$，$C_p^\inf$商掉这个等价类记为$\mathcal{H}_p$，这个线性空间再 商掉$\mathcal{F}_p$即关于局部坐标一阶偏微商为0的芽构成的空间，就得到$T_p^*M$。从这个定义看$df=-tdt+xdx$这样的式子就很自然了。
对于我这种不懂代数的人来说，告诉我一个线性映射总是太抽象了，能拿出一组基来才比较舒服。所以看待张量最舒服的观点就是基下的展开：
局部的几何由度规张量场g_{\alpha\beta}定义。
接下来是狭义相对论的formulation。狭义相对论说的是没有能动张量扭曲的平直时空，数学上说就是时空是这样一个流形，它存在一种特殊的坐标系（惯性坐标），这个坐标能够覆盖整个流形，并且度规是diag(-1,1,1,1)。 不同惯性坐标之间的变换即Lorentz变换。虽然从四维来看是个转动，回到三维，这就是向某个方向的平移。
比较难以理解的是时空流形的一个坐标化到底代表什么。一个坐标在物理上相当于对时空的一种度量方式，它可以有比较明确的物理意义（比如Schwarzschild坐标是无穷远处观测者的坐标），也可以不具有明显的物理意义（比如乌龟坐标就有一种伸缩；Kruskal坐标就没有显著的物理解释了）；但是这还不是重点。在狭义相对论里面，我们说一个全局的惯性坐标并没有什么毛病，比如可以指定和“我”这个惯性观测者“同时”的时空切片；也就是在这种意义下，我们才可以谈“尺缩效应”之类的事情（并不是我“看到”尺子缩短了，而是尺子在我的这个时刻的类空超曲面上缩短了；我并不能“看到”尺子，我只能看到尺子发出的光子在某一时刻打在我的视网膜上，这与类空超曲面上截出的尺子是两回事，只是在狭义相对论中还不太明显罢了。Terrell转动说的就是“类空超曲面上的截断”与“视觉效应”的差别）。但是到广义相对论里面，所有东西都是局部的，我能观测到的事件点跟我必须是重合的。所以根本没有“远处的某个事件和我处于同一个时刻”，或者“我看到远处某个东西的速度”，或者“宇宙膨胀中星系远离我的速度”，所有的观测都是在同一点上切矢量在Frenet标架上的投影。至于坐标时是什么含义，其实并没有含义，绕着黑洞的圆周运动角速度$\frac{d\phi}{dt}$也没有任何含义，只是一种记号罢了。比如说，我看着夜空，自己转了一圈，在我看来远处的恒星飞快地转了一圈，线速度远远超过光速。但是这只是一种“坐标速度”，实质上只是从不同时刻光子达到我的视网膜上强行定义出来的一个速度，而不是某个切矢量在我的局部实验室上的投影，所以无所谓超不超光速的问题。
所以最后，我们也只能说，一个坐标在物理上相当于对时空的一种度量方式，而并没有别的特别的意义。
在流形上有世界线，于是有4-速度，也就是普通的单位切向量。固有时即为类时曲线的长度（的相反数）。进一步有Fermi-Walker坐标，就是无空间转动的观测者坐标，从微分几何角度来看就是一种特殊的Frenet标架。有了这个标架，就可以作投影来计算测量的物理量。 狭义相对论几个经典的效应/佯谬，从几何角度看都很容易，比如尺缩、钟慢、光的Doppler频移、Einstein圆盘、孪生子佯谬。需要注意的是，在平直时空的物理就是狭义相对论，并不一定要取惯性坐标系，比如匀加速的Rindler坐标，它的Christoffel符号非零，但是Riemann张量仍然为0。毕竟Christoffel符号不是张量，随坐标变换是很随意改变的。再比如孪生子佯谬也仅仅用到Minkovski时空类时测地线的固有时最长，而不是很多人说的需要广义相对论。即使你闲着用运动者的坐标系算，静止在地球上的那位走的仍然是测地线，照样最长。
至于广义相对论，从广义相对论的角度来看，引力并不作为一种力， “惯性运动”/“匀速直线运动”是测地运动。站在地球上，实际受到的力只有地面的支持力，所以每时每刻都在加速，偏离坠向地心的惯性运动。 Einstein场方程与测地方程可以看成GR的两个基本假设。纳入作用量体系的话，Einstein场方程、测地线方程、能动量守恒方程都是自洽的。
经典电动力学的formulation
在弯曲时空中，电磁学如以下所述。
首先有一个四维电磁势A。它给出电磁张量：
由此定义位移电流张量：
弯曲时空中的电磁规律就是下面这两条：
四维电流密度与位移电流张量联系；洛伦兹力密度由四维电流密度给出。
在平直时空中，在平常的那个坐标里面，事情就更加简单了。电场和磁场整合在这样一个电磁张量场里面：
（算上c的话就是E/c）
Maxwell方程就是：
前一个方程是电磁张量自身的对称性，后一个方程表示电磁场由电流产生。其中的4-电流为
这样一个方程除了好看以外并没有什么用。不过用电磁张量做坐标变换是很好的。至于Lorentz变换，只需要记住正x方向的匀速直线运动就够用了。
总的来说，只要记住四维Lorentz流形上的电磁张量场这个图像就行了。
经典电动力学的其它花样
不涉及坐标变换的时候，直接把电场和磁场看成两个场，套用Maxwell方程
所有问题就都解决了。
涉及坐标变换的时候再请出电磁张量（记住其形式）。此外当然还要记住Lorentz变换的形式：
对电磁张量做Lorentz变换，当然可以算矩阵，不过用前面说的基展开形式也许会清晰一点。比如说，给定一个电磁场，把它变换到沿x正方向以速度v运动的观测者，其y轴方向的电场是多少。可以这样算：只需要算dt'*dy'这一项的系数，它包含在dt*dy,dx*dy,dz*dy这三项里边，这三项分别贡献-gamma Ey，gamma v Bz，0，于是结果就出来了。
说到底，张量分量的变换直接按照\partial x^\mu/\partial x^\nu的上下标匹配就行了。这个partial就直接按照Lorentz变换的形式来。结果是一样的。
关于其它花样，主要是Maxwell方程在特殊情形下的应用，比如最经典的静电场，静磁场，传播，激发这四个问题。都是技术性的，不多说。
总结一下。电磁场就是洛伦兹流形上的二阶张量场。如果不涉及坐标变换问题，直接用坐标形式的微分/积分Maxwell方程就可以解决所有问题。如果涉及坐标变换，就要对电磁张量做变换，变换的方法有两种：partial/partial对准上下角标变换，或者直接用dx运算。结果是一样的。这两种变换方式不只适用于Lorentz变换，对于加速坐标等等一样能适用。
