『初中可看/解析几何』坐标系内过一点作已知圆的切线，求其斜率

（这次是真的初中可看！！！）

本期灵感来源：

时间是在今年的一月30号（别问我为什么记的这么清楚，问就是想了一天）

当我试着用Desmos还原该题的图时（我经常用解析几何做平面几何），遇到了这样一个问题：过平面直角坐标系内任意一点做一已知圆的切线，这条切线的斜率是怎样的？

起初，我尝试在网上找相关的公式，可是花了很多时间，无一例外找到的都是过圆上一点作切线，其斜率与该点坐标的关系

于是，在求助无果后，我决定自行研究

首先，对于平面直角坐标系xOy中一圆

C:(x-a)²+(y-b)²=r²

以及圆外一点作该圆的切线（如图）

K(u,v)

若直接计算，其计算量一定是很大的，此时我们不妨将圆与点同时平移，在保持其相对位置不变以及切线斜率不变的情况下，使得圆的圆心移动到原点上，这可以大大降低我们的计算量

此时，圆的方程变为：

C':x²+y²=r²

而新的点的坐标为

K'(u-a,v-b)

我们令m=u-a,n=v-b,则有K'(m,n)

现在图变为：

这时我们再讨论斜率与各个常数的关系会简单很多

我们设直线解析为：

y=k(x-m)+n

联立直线解析式与圆的方程，得到：

┏━x²+y²=r²                         - ①

┃

┗━y=k(x-m)+n                   -②

将②式代入①式并展开，得到：

x²+k²x²+k²m²+n²-2k²mx+2knx-2kmn=r²

整理得到：

(1+k²)x²+(2kn-2k²m)x+(k²m²+n²-2kmn-r²)=0

得到这个关于x的方程后，我们注意到这点：

圆的切线与圆有且仅有一个切点

也就是说：这个方程有且仅有一个实数解，即Δ=0，这也是我们整理原方程的原因，以便准确的找到二次项系数、一次项系数以及常数项

将三者代入Δ=b²-4ac，得到：

(2kn-2k²m)²-4(k²+1)(k²m²+n²-2kmn-r²)=0

展开得到：

4k²n²+4k⁴m²-8k³mn-4k⁴m²-4k²n²+8k³mn+4k²r²-4k²m²-4n²+8kmn+4r²=0

我们惊奇的发现：k的三次项与四次项以及部分二次项都可以被消掉！（已用不同颜色标出）

于是将该式整理成关于k的一元二次方程：

(4r²-4m²)k²+(8mn)k+(4r²-4n²)=0

此时对k求解即可得到直线的斜率k₁,k₂为：

那么现在，我们就得到了过圆外任意一点（记住，m,n不是该点的坐标，是平移后的坐标，要用u-a和v-b代入），作圆的切线，其斜率与点的坐标、圆的方程中各数的关系

但是，不难看出这样一个问题：当|r|=|m|时，整个式子将会失去意义，但是|r|=|m|的情况是显然存在的，就像下面这张图：

显然，其中橙色切线的斜率为∞，即x=u，那另一条呢？

当处于这种情况时，我们将圆的圆心移至原点，会发现点的坐标为：

P(-r,v)或P(r,v)

设绿色直线的解析式为：

y=k₃(x±r)+n

我们使用同上文中相同的方法，同样可以把k₃求出，这里不住过多的赘述，直接给出结果：

这点作为练习，交由读者自行求解

（特此说明一下这里要感谢@若锅锅的纠正，由于K'存在两个关于y轴对称的点，因而k₃存在两个互为相反数的解，即k₃与k₄这点我之前没有注意到，给出了不全面的答案，在此向各位道歉）

总结一下，解决这个问题，要点在于需要灵活运用当一个一元二次方程有且仅有一个实数解时，b²-4ac=0的条件，将联立后关于x的方程转化成关于k的方程，从而将k的值解出来

还有一点很重要，要考虑到当前解所不能囊括的特殊情况，然后进行分类讨论，才能保证不漏解，得到问题的完整答案，这也是学习数学中不可货缺的思想

辅助软件：Desmos

官网：https://www.desmos.com

专栏中使用的图表：

https://www.desmos.com/calculator/xmwis9qsow?lang=zh-CN