上篇文章我们初步讲解了关于行列式的内容，今天我们来了解一下特殊的行列式，矩阵，伴随矩阵以及逆矩阵。

行列式与矩阵 

一、特殊的行列式

特殊的行列式分别为：上三角型行列式、下三角型行列式、范德蒙型行列式、爪型行列式及拉普拉斯行列式

1.1 上三角行列式

上三角行列式是以主对角线为分割，在对角线的一侧全为0。上三角型行列式的值为对角线元素相乘。

1.2 下三角行列式

下三角行列式是以次对角线为分割，在对角线的一侧全为0。

1.3 拉普拉斯行列式

拉普拉斯行列式可以看做是一个复合型行列式，通常的行列式元素是数字，在拉普拉斯行列式中元素是一个新的行列式。

在下图中，A，B，0，C，D都是行列式m和n分别是A和B的阶数

1.4 范德蒙行列式

范德蒙行列式特点是第一行全为1，第三行开始都是第二行的几次方。在计算中范德蒙行列式只需要将第二行从右到左依次减一遍相乘即可。

1.5 爪型行列式

爪型行列式一般会通过行列式的性质将每一行加到第一行（将每一列加到第一列）提出公因数再消掉第一行（第一列）的1，之后通过展开式或者变换为上三角（下三角）型来完成计算。

二、矩阵

2.1 矩阵的概念：矩阵是一个n行m列的表格。

在矩阵学习的过程中一定要和行列式区分开。行列式是n行n列的，是一个数字。矩阵和行列式可以看做是一个包容的关系，行列式是矩阵的一个属性。

属性不难理解，比如游戏中人物拥有智力，武力，生命值等等的属性，属性是描述一个物体的形容词，是物体生而具备的某种特性。

行列式就是矩阵的一种属性，所以我们在学习矩阵时常会听到这样的名词“n阶子式”，“矩阵的行列式”这都是在说矩阵的一部分或者是特殊矩阵的整体。

比如下图就是一个三行两列的矩阵，红色部分就是一个二阶子式。因为矩阵本身不符合n行n列所以没有行列式，但是可以通过选取的方式来找一个子式。

特殊地，如果一个矩阵是n行n列我们就把他叫做方阵，方阵本身就可以用来求其对应的行列式的值。

2.1.1 单位矩阵 E：

单位矩阵是矩阵运算中的基本元，在运算过程中常需要单位矩阵作为转换工具来使用，单位矩阵主对角线为1，其余位置全为0。

2.1.2 矩阵的计算：

矩阵的加减：对应元素进行加减

矩阵的乘法：前矩阵的行乘以后矩阵的列然后相加

2.2 伴随矩阵（只有方阵才具有伴随矩阵）A*：

伴随矩阵是一个非常好解释的内容，但是在做题过程中需要充斥比较多的计算。伴随矩阵的生成步骤共有两步：

a. 求所有元素的代数余子式

b. 将按行求的代数余子式按列排放。

总结：按行求，按列放。

2.3 逆矩阵（只有方阵具备逆矩阵）：

n阶方阵A ，若存在同阶矩阵B，使得AB = BA = E。那么就称B为A的逆矩阵，记做A^-1（以后都称为A逆）

要注意不是所有的方阵都具有逆矩阵哈，只有行列式不等于0的方阵才是可逆的。如果一个方阵可逆，那么其逆阵是唯一的。

二、矩阵的各种性质及特殊矩阵的计算方法

2.1 矩阵的性质及注意事项

• 2.1.1 n阶矩阵 |A| = |A的转置

• 2.1.2 |AB| = |A| * |B|  AB为同阶

• 2.1.3 AB 不等于 BA  ☆重点

• 2.1.4 AE = A      EB = B  矩阵与单位矩阵相乘结果为矩阵本身

• 2.1.5 （AB）C = (AC)B           (A+B)C = AC + BC            K(AB) = (KA)B = A(KB)

• 2.1.6 AB = 0 不能推出 A = 0或者B = 0  

• 2.1.7（A+B）^2 = A^2 + AB + BA + B^2  不等于  A^2 + 2AB + B^2    ☆重点

• 2.1.8矩阵的转置是行列互换 记做A^T

• 2.1.9  (A^T)^T = A

• 2.1.10   (A+B)^T = A^T + B^T

• 2.1.11  (AB)^T = B^T * A^T    ☆重点

• 2.1.12  (kA)^T = 1/K * A^T  k为常数  常数的转置就是倒数

• 2.1.13 A X A* = A* X A = |A|E  ☆重点

• 2.1.14 |AA*| = ||A|E|

• 2.1.15 若|A|不等于0，|A| X |A*| = |A|^n 

• 2.1.16 A X A^-1 = E    ☆重点

• 2.1.17 |AA^-1| = |E| = 1

• 2.1.18 |A^-1| = 1 / |A|      ☆重点

以上就是今天的知识分享，希望同学们学习进步。【笔芯】

下集预告：逆矩阵的求法，经典习题及解题步骤