那条发视频的一道条件极值题之解，分享于诸君
原题参考视频:
令L=x+3y+m[xy²(x+6y)-1]
∂L/∂x=1+m[y²(x+6y)+xy²]=0
∂L/∂y=3+m[2xy(x+6y)+6xy²]=0
即3[y²(x+6y)+xy²]=2xy(x+6y)+6xy²
y＞0，两边同除y得
3[y(x+6y)+xy]=2x(x+6y)+6xy
即x²+6xy-9y²=0
齐次式，两边同除y²，令x/y=t，得:
t²+6t-9=0
解得t=-3+3√2或-3-3√2(舍)
(当t=-3-3√2时,x与y异号，故舍去)
即x=(-3+3√2)y
代入约束条件xy²(x+6y)=1得:
9y⁴=1，解得y=√3/3(负根舍去)
则x=(-3+3√2)*(√3/3)=√6-√3
x+3y=√6
此时海森矩阵正定，为极小值
综上，在x,y＞0范围内，原式最小值为√6
ps:上述法为拉格朗日乘数法
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