高中数学人教B版——补充篇01《集合》

书上面的一些知识点以及对应的题型，本人就不在文章里面赘述了。如有不懂的，可以看各大学习区up主的视频课程，这里也给大家推荐一个，可以去跟着学学。

虽然是人教A版，但是都不影响，找准自己想看的章节内容就好。

01 分数与小数的互相转化

我们初中就知道，整数和分数统称为有理数，初中阶段开始便很少使用小数了，但是小数在日常生活中的应用还是很广泛的。所以这里教大家一下分数与小数如何互相转化，当做一个生活常识看待就好，考试的话未必用的上。

在说转化之前，先复习一下分数和小数的关系。小数分为三种：有限小数、无限循环小数、无限不循环小数。其中无限不循环小数指的就是无理数了，所以是不能写成分数的样子的。我们只考虑分数和有限小数、无限循环小数之间的转化。

（I）分数转化为小数：非常简单，用分子除以分母即可。能除尽的就是有限小数，除不尽的就是无限循环小数。所以才说分数转化为小数非常简单，会算除法就会转化。

（II）有限小数转化为分数：也很简单。有几位小数，分母就写10的几次方，小数部分直接当做分子，这样我们就把有限小数对应的分数写出来了。当然了，分子分母上下能约分的还是必须要约分才行。例如：

（III）无限循环小数转化为分数：这里我们介绍一种简单的方法。（此方法从数学的角度来说并不严谨，但是使用起来却很方便）

我们来看如下几个例题：

① 将化为分数：

② 将化为分数：

通过上面的例子，我们不难发现想要把无限循环小数转化为分数，也不是什么难事。循环节有几位就在分母写几个9，然后再把循环节本身写在分子上就好了。

我们可以利用这个方法，轻松地将化为分数：

当然，像是这样的数也一样能轻松地化为分数：

顺便说一下，下面这个事实也可以用我们这个简单而不严谨的方法算出来：

当然了，这个是有严格证明的方法的，详情见下面的这个视频。

02 集合的元素多种多样

集合的元素是多种多样的。例如 {苹果，梨，香蕉} 就是一个集合，{数学，语文} 也是一个集合…… 只不过在高中阶段更倾向于研究数集而已。

研究集合的时候，一定看好这个集合是由什么构成的，是实数构成的数集，还是点构成的点集……

因为 A 集合是由实数 x 构成的集合，而且 x 得使后面的表达式有意义才行。所以

同理，B 集合是由实数 y 构成的集合，而且 y 的范围同样得适配后面的表达式。所以

C 集合是由二维平面的点 (x,y) 构成的集合，不同于 A 集合与 B 集合是数集，C 集合是点集，表示的是横纵坐标满足后面表达式的所有的点的集合。即 C 集合表示的是函数 的图像上的所有的点。

虽然上述这三个集合的特征性质长得一样，但是由于前面的元素形式不同，导致这三个集合是不同的集合。

当然，集合的元素也可以是集合！例如

其中正确的有 (1) (2) (4) (5) (8) (9) (12).

其实解释起来很简单，由集合与元素的关系可知 (1) (5) (9) 是正确的，从而可以推出 (4) (8) (12) 也是正确的，再加上空集是任何集合的子集，所以 (2) 也是正确的。

03 并集元素个数

设有限集  所含元素个数用  表示，并规定 .

很明显，若 ，则必有 .

(I) 两个集合求并集元素个数

两个集合求并集个数非常好求，可能小学学奥数的时候就已经知道这个结论了。由于集合少，所以画图就可以非常清晰地看出来结果，下面也给出了简要的计算过程。

(II) 三个集合求并集元素个数

虽然集合只有三个，也不算多，但是明显被分成了7个部分，难度瞬间上升。但是只要足够仔细，也是能算得清的。

(III) n个集合求并集元素个数

我们已经给出了两个集合、三个集合的这两种情况了，很明显，集合越多结果越复杂。所以这里给出一个这类问题的通用解决方法：

当然了，如果不认识求和符号  的同学可能也看不懂上面的公式，不过也没关系，之后到统计概率那章学会了求和符号以后，在看这个公式就能看懂了。

04 集合运算公式

集合之间的运算公式非常多，书上只是罗列了几种基础的，在这里补充一些，也许某一天就用得上了呢。

(I) 结合律

(II)分配率

(III)交集、并集与原集合的大小关系

(IV)子集与补集的关系

(V)德·摩根定律

熟练地记忆并运用这些公式，会起到事半功倍的效果。