【数学基础36】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
混合积：向量a与b的外积，再与向量c作内积，结果是一个数量，称为三向量依顺序a，b，c的混合积，记为（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；
混合积性质：
a.当a，b，c组成右手系时，（a，b，c）>0；
b.当a，b，c组成左手系时，（a，b，c）<0；
几何意义：（a，b，c）是以a，b，c为邻边的平行六面体的体积；
性质：
a.（a，a，c）=0；
b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；
c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；
d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是实数）；
三向量a，b，c共面的充要条件是（a，b，c）=0。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
试证明下列极限式：lim（n^2+n）^[1/（2n+1）]=1
证：
（n^2+n）^[1/（2n+1）]>1，令hn=（n^2+n）^[1/（2n+1）]-1>0；
显然，2n+1>=3，所以二项式展开至少存在前四项，
n^2+n
=（1+hn）^（2n+1）
=1+（2n+1）hn+[（2n+1）2nhn^2]/2+[（2n+1）2n（2n-1）hn^3]/6+……
>[（2n+1）2n（2n-1）hn^3]/6
hn
<{[6n（n+1）]/[（2n+1）2n（2n-1）]}^（1/3）；
2n+1>n，1/（2n+1）<1/n且n>=2时，2n-1>=n+1，即（n+1）/（2n-1）<=1
则n>=2时，（n+1）/[（2n+1）（2n-1）]<1/n，
则0<（n^2+n）^[1/（2n+1）]-1=hn<（3/n）；
lim（3/n）=0，则lim（n^2+n）^[1/（2n+1）]=1.
解析几何——
例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——
证明三个向量mb-nc，nc-la，la-mb必共面.
证：
（mb-nc，nc-la，la-mb）
=（mb-nc）x（nc-la）（la-mb）
=（mbxnc-mbxla-ncxnc+ncxla）（la-mb）
=（mbxnc-mbxla+ncxla）（la-mb）
=lmn（b，c，a）-l^2m（b，a，a）+l^2n（c，a，a）-m^2n（b，c，b）+lm^2（b，a，b）-lmn（c，a，b）
=lmn（b，c，a）-lmn（c，a，b）=0，则向量mb-nc，nc-la，la-mb必共面，证毕。
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
证明：如果A=（B+E）/2，则A^2=A当且仅当B^2=E.
证：
A^2=（B+E）^2/4=（B^2+2B+E）/4；
若A^2=A，即（B^2+2B+E）/4=（B+E）/2，解得B^2=E.
到这里！
