【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep21】数字革命：新视界
大家好，今天老碧和大家一起继续品读这本数学名著——每天五分钟，数学更轻松！——数学这么好玩，咱们先玩一会儿再学习也不迟！
上期提到：
“完备性”是“实数”完全不同于“有理数”的一个性质。
——所以，由此可以导出许多“实数”独有的定理，比如我们今天要聊的“确界原理”。
11数集的界
书上先定义了，什么叫做“数集的界&确界”——
如果对于一个数集来说，存在一个数M，使得这个数集中的任何数都比M小，则M是这个数集的上界——比如，10大于sin n（n为所有自然数）组成的集合S，10就是S的上界，同理，所有大于10的数都是S的上界，显而易见，（由阿基米德公理）上界是有无穷多个的；
类似的，对于一个数集来说，存在一个数m，使得这个数集中的任何数都比m大，则m是这个数集的下界——比如，0小于1/z（z为所有正整数）组成的集合Z，0就是Z的下界，同理，所有负数也是Z的下界，显而易见，（由阿基米德公理和正数负数的对称性）下界是有无穷多的；
广义的上界和下界可以包含“无穷大”——众所周知，无穷大有三种：正无穷大，负无穷大，无穷大——在数集的界中我们只使用到前两种。
特别的，最小的上界称为“上确界”，最大的下界称为“下确界”。
显然，这两个数是很具有特殊意义的，比方说，有上界的数集，上界显然没有最大值，那么最小值的存在性就值得思考了。
于是就引出了一个自然的讨论，一个有（有限数）上界的数集是否一定有上确界？
答案是肯定的，也就是我们要聊的“确界原理”，这个定理的证明方法也有很多，书上采用“实数分划”的方法——
分两种情况讨论（以“有上界的数集”为例，“有下界的数集”同理可证）：
1.数集有最大数——
在这种情形下，很容易证明，这个最大数就是我们要求的“上确界”：
已知数集X中最大数为x，即X中任意数x<=x，由上界定义可知，x是X的一个上界；
因为x是X中最大数，即X的元素之一，故对于任意X的上界M，x<=M；
综合1、2，x是X的最小上界，即“上确界”。
2.数集无最大数——
这里就用到了，我们在Ep19~20介绍的一个新的工具——“实数分划”——
对有上界无最大值的数集X，构造一个“实数分划”满足：a.X的所有上界a归为上组，b.余下的数，即X中的数，以及，如果有比X中的数小的数，都归为下组；
因为X中无最大值，所以由“实数分划”性质，上组有最小值，即为界数，记为a，所以对于上组中的任意数a，a<=a；
由“实数分划”的定义，对于任意下组的数必然小于上组的数，X的任意元素x属于下组，a为上组的最小值，则X的任意元素x<=a，即a为X的上界之一；
结合2、3，可知，“实数分划”的界数a即为数集X的上确界。
对有下界的数集我们的证明方法类似。
——这样我们就证明了，《数学分析》课程中第一个重要定理——“确界原理”——非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
易知，任何一个数集的上确界必然满足以下两个性质——
意思是，对于数集X的上确界M，必然满足——
对任意X中的元素x，x<=M；
对于任意小于M的数a，都存在至少一个X中的元素x'>a；
——第二条性质常常表述为——
对于任意小数e，总存在X中的至少一个元素x'>M-e。
这两个性质也是在《数学分析》课程中一而再再而三三而四……用到的性质，基本上如果看到任何一道题目给出了这个信息——无论是直接说了“有界”两个大字，还是能看出来“有界”这个条件，往往就会用到这两个性质作为证明中的重要线索。
类似的，任何一个数集的下确界也必然满足以下两个性质——
即，对于数集X的下确界m，必然满足——
对任意X中的元素x，x>=m；
对于任意大于m的数b，都存在至少一个X中的元素x'<b；
——第二条性质常常表述为——
对于任意小数e，总存在X中的至少一个元素x'<m+e。
X的上确界和下确界，常用符号sup X和inf X来表示。
书中最后介绍了一个在《数学分析》课程中简单但是会很常用的推断——
即——如果数集X中的任意元素x<=M——M是X的一个上界——则sup X<=M。
类似的，广义的上确界和下确界，包含无穷大。
今天就聊到这里！
