2023 李开丁数一模拟一

用时：2h20min。拿来查缺补漏不错

1、考察了傅里叶级数的收敛定理，通过使用周期函数性质，得到然后代入即可。

2、第二重曲面积分的基本计算，投影到xoy，会发现值为0

3、没有说是否是正项级数，所以正项级数的敛散判别不能使用，应该想到使用级数的定义来求解。但是这个题目证明比较困难，需要通过举反例来解决。（例如）

4、符合路径无关，路径设为，可以代入被积函数，消去不存在的点，之后结合格林公式即可求解。

5、，并且

6、通过使用加边法就可求解该行列式，从而得到等式

7、写出二次型矩阵，求出特征值即可。

8、对称函数的性质，结合图像即可解出

9、A、B是两个相互独立的正态函数得到的新的正态函数，结合图像求解；C、D是根据独立性和max、min的公式即可求解。

10、基本的计算。

11、上使用sin与cos全部进行互换

12、二元函数积分换序

13、先求出，在对y求偏导（这时候可以将x=0代入，再对y求导）。之后的那个就是将y=0代入，只对x进行求导。

14、斯托克斯公式的第二种形式，结合图形面积求解。

15、求期望，结合极限计算。

16、秩1矩阵，将矩阵拆解开，再组合

17、简单题，泰勒展开

18、化为同一形式，将化为二重积分（注意积分变量的不同）。

结合题干中"f(x)、g(x)都是单调递增函数"，构造出的形式（变量表示的随意性）

19、较为复杂的物理应用。不过，数一真题暂时还没考过这么复杂的。

结合泰勒公式，s的关于t的二阶导为加速度。用到了绝对值不等式。

20、画出求偏导的路径图，注意是经过到达x、y，所以需要借助 

21、

(1)因为A是正定矩阵，所以一定存在正交变换P使得，A相似于单位矩阵。实对称矩阵必可正交对角化，仍为实对称阵，所以存在Q，使得

(2)应用(1)的方法即可。

22、

①时，X、Y都为标准正态分布，Z服从。基本思路：通过分布函数求导得到密度函数。

因为分布函数是关于X和Y，就需要使用(X,Y)的概率密度，结合分布函数的定义式来得到、

X和Y独立，且都是正态分布，结合二维正态分布的公式，可以得到的密度函数。

②。基本思路同上，将   X>0或X<0，然后结合全概率公式求解出分布函数。结合被 积函数形态，选择使用极坐标计算。

③似乎有些超出考研范围。

观察答案步骤，猜测基本思路是运用，再结合①、②中的概率密度函数，具体解题过程不理解。

附加题：

1、判断EXY与EX×EY的关系即可得到

2、求出偏导为0的点，代入比较大小即可

3、

①记住结论“实对称正交矩阵的特征值为1或-1”，结合条件即可得到1、1、1、-1这四个特征值。因为已经得到特征值，且是实对称矩阵所以一定会存在由特征值组成的对角阵的

②需要证明充分条件和充要条件。实际上有点绕，并不复杂。