题目:如图1,在锐角△ABC中,M是边BC中点,点P在△ABC内,使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP,△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D,E.

求证:若DE=MP,则BC=2BP.

思考过程:DE=MP是核心条件,但DE和MP相互转化比较困难.因此将DE=MP翻译为DP=EM.

假设结论成立,逆推得到BP=BM=CM,∠BPD=∠PMC.

很容易想到连接BD,EC(如图2)

去证明△BPD≌△EMC

已有DP=ME,要想证明全等,显然要找两边一夹角(否则可直接推出答案)

即证明∠MEC=∠BDP,BD=CE

而∠MEC=∠PAC=∠PAB=∠PDB,角的证明完成

对于BD=CE,既然在两对三角形之间已经有等角,那么用正弦定理推是很好的选择

BM/sin∠PDB=BD/sin∠DMB

CE/sin∠EMC=CM/sin∠EMC

两式联立即得BD=CE

那么证明就完成了

下面,给出证明过程

证明:

连接BD,CE

∵DE=MP 

∴DP=ME ①

∵∠MEC=∠PAC=∠PAB=∠PDB

∴∠MEC=∠PDB ②

∵BM/sin∠PDB=BD/sin∠DMB

  CE/sin∠EMC=CM/sin∠EMC

  M为BC中点

∴BD=CE ③

由①②③,△DBP≌△CEM

∴BP=CM=1/2BC

即BC=2BP

接下来,再给出官方解答(图3)

这种证法不容易想到,大家可以学习一下

几何图像网址:https://www.desmos.com/geometry-beta/aoge0isrty?lang=zh-CN

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